|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1 ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
В рекомендованных учебниках [1], [2], а также в руководствах [4J и [5] учащиеся найдут достаточное число примеров задач подобных тем, которые включены в контрольную работу. Поэтому ниже даны лишь необходимые краткие методические указания к решению задач контрольной работы. Первую задачу (задачи 1 —10) следует решить после изучения тем 1.1.1 и 1.1.2.1. Во всех задачах рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два груза. Таким образом, к шарниру В в каждой задаче приложены четыре силы, из которых две неизвестны. Можно избрать три способа решения: аналитический, графический и геометрический. Для данного типа задач целесообразно использовать аналитический способ решения. Последовательность решения задачи: 1 Выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать. 2 Освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принято предполагать, что стержни растянуты. 3 Выбрать оси координат и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости ∑ Xi = 0; ∑ Уi =0. Выбирая оси координат, следует учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно одной из неизвестных сил. 4 Определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений. Пример 1 Определить реакции стержней, удерживающих грузы F1 = 70 кН и F2 = 100 кН (рис. 1, а). Массой стержней пренебречь.
Рисунок 1
Решение: 1 Рассматриваем равновесие шарнира В(рисунок 1, а). 2 Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рисунок 1, б). 3 Выбираем систему координат, совместив ось упо направлению с реакцией N2 (рисунок 1, б) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В: ∑ Xi = -N1·cos 45° + F2· cos 30° = 0 (1) ∑ Yi = N1·sin45° + N2 + F2·sin30° - F1 = 0 (2) 4 Определяем реакции стержней N1 и N2, решая уравнения (1), (2). Из уравнения (1) N1 = F2 · cos 30° / cos 45° = 100 · 0, 866/0, 707 = 122 кН Подставляя найденное значение N1 в уравнение (2), получаем N2 = F1 - F2 · sin 30° - N1 · sin 45° = 70 - 100 · 0, 5 - 122 · 0, 707 = -66, 6 кН Знак минус перед значением N2 указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное - следует направить реакцию N2 в противоположную сторону, т. е. к шарниру В (на рисунке 1, б истинное направление реакции N2 показано штриховым вектором).
Задачи 1—10Определить реакции стержней, удерживающих грузы F1и F2.Массой стержней пренебречь. Схему своего варианта смотри на рисунке 2. Числовые данные своего варианта взять из таблицы 2. Таблица 2
Рисунок 2 Вторую задачу (задачи 11—20) следует решать после изучения тем 1.1.1, 1.1.2.1 и 1.1.2.2. Во всех задачах требуется определить реакции опор балок. Учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов и деталям машин.
1 Изобразить балку вместе с нагрузками. 2 Выбрать расположение координатных осей, совместив ось х с балкой, а ось у направив перпендикулярно оси х. 3 Произвести необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклоненную к оси балки под углом α, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку - ее равнодействующей, приложенной в середине участка распределения нагрузки.
Рисунок 3
40свободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, 5 Составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор. 6 Проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использовано для решения задачи. Пример 2Определить реакции опор балки (рисунок 3). Решение: 1 Изобразим балку с действующими на неё нагрузками (рисунок 3). 2 Изображаем оси координат х и у. 3 Силу Fзаменяем ее составляющими Fx = F·cosα и Fy = F·sinα. Равнодействующая q·CDравномерно распределенной нагрузки приложена в середине участка CD, в точке К(рисунок 3). 4 Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями (рисунок 3). 5 Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор. Из уравнения суммы моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу определяем одну из неизвестных вертикальных реакций: Σ mА = Fу · AB + М + q·CD·AK - RD·AD = 0
Определяем другую вертикальную реакцию: Σ mD= RАу·AD - Fy · BD + M - q·CD ·KD=0
Определяем горизонтальную реакцию: Σ Xi= RAX - Fx = 0; RAX= Fx = F·cos α = 20 · 0, 866= 17, 3 кН 6 Проверяем правильность найденных результатов: Σ Yi = RAy – Fy -q·CD + RDy=5, 5-10-1·2 + 6, 5 =0 Условие равновесия Σ Yi = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно. Задачи 11 — 20 Определить реакции опор двухопорной балки (рис. 4). Данные своего варианта взять из табл. 3. Таблица З
Рисунок 4 Третья задача (задачи 21-30)может быть решена учащимися, если они будут ясно представлять смысл условия прочности при растяжении (сжатии) σ = N/A ≤ [σ ], где [σ ]—допускаемое напряжение. Необходимо знать, что исходя из условия прочности можно решать три вида задач: 1) проверка прочности σ = N/A ≤ [ σ ] 2) проектный расчет (подбор сечения) [A ] ≥ N/[ σ ] 3) определение допускаемой нагрузки [N] ≤ A· [σ ] В задачах 21-25рассматриваются стержневые системы, работающие на растяжение и сжатие, для которых необходимо выполнить проектный расчет, а также оценить прочность выбранного стандартного сечения стержня. Стержни имеют одинаковые поперечные сечения. Последовательность решения задачи: 1 Определить реакции стержней, используя уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил и проверить правильность найденных реакций. 2 Для наиболее нагруженного стержня, используя условие прочности 3 Определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня, используя условие прочности σ = N/A ≤ [σ ]], при принятых стандартных размерах площади поперечного сечения. ∆ σ =σ -[σ ]/[σ ]·100%. Допускается недогрузка до 15% и перегрузка до 4%. Пример 3 Для данной системы двух стержней одинакового поперечного сечения, нагруженных силой F= 170 кН (рисунок 5), определить: а) требуемую площадь поперечных сечений стержней, состоящих из двух равнобоких уголков, и подобрать по ГОСТу (см. приложение II) соответствующий профиль уголка; б) определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня при принятых стандартных размерах сечения, приняв [σ ] =140 МПа.
Рисунок 5
Решение: 1В данном примере в шарнире С приложена система сходящихся сил. Определяем силы N1 и N2 в стержнях 1 и 2 (рисунок 5, а), используя уравнения равновесия Σ Х=0 и Σ Y=0. Σ X = -N1·sin30° + N2·sin45° = 0 (l) Σ Y = N1· cos30° + N2· cos45° = 0 (2) Из(1): N1 = N2 · sin45°/ sin30° = N2 · 0, 707 / 0, 5 = 1, 41 (3) Подставляем в уравнение (2) выражение (3) и получаем 1, 41N2 · cos30° + N2 · cos45° - F = 0 N2 = F/1, 41 - cos30° + cos45o = 170/(1, 41 ·0, 866 + 0, 707) = 88, 3kH N1 = l, 41·N2 = 1, 41· 88, 3 = 124 кН 2 Определяем требуемую площадь поперечного сечения для наиболее нагруженного стержня: Nmax = N1 = 124, 5 кН Al = N1/[ σ ] = 124, 5 • 103/ 140 = 889 мм2 = 8, 89 см2 Площадь равнобокого уголка подбираем по значению A1/2 = 8, 89/2 = 4, 445 см2. Используя приложение 2, назначаем профиль ( L63X63X4) с площадью [А] =4, 96 см2. Таким образом, требуемая площадь поперечного сечения стержней будет равна: 2·[А] =2·4, 96 = 9, 92 см2. Рабочее напряжение в поперечном сечении наиболее нагруженного стержня: σ = N1/2 · [A] = 124, 5 · l03/2 · 4, 96 · 102 = 125, 5 Н/мм2 = 125, 5 МПа 3 Проверяем прочность наиболее нагруженного стержня: ∆ σ = σ -[ σ ]/[ σ ]·100% = 125, 5 -140/ 140·100% = -10, 3% Недогрузка составляет 10, 3 %, что допускается. Задачи 21-25 Задана система двух стержней, составленных из двух равнобоких уголков (рис. 6, схемы 1–5). При заданном значении силы F определить: 1) требуемые площади поперечных сечений стержней и подобрать по ГОСТ 8509-2 (см. приложение 2) соответствующие номера профилей; 2) определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня при принятых стандартных размерах сечения. Принять [σ ] = 160 МПа. Данные своего варианта взять из табл. 4.
Таблица 4
В задачах 26-30рассматривается система трех стержней одинакового поперечного сечения, поддерживающих абсолютно жесткую балку. Для наиболее нагруженного стержня следует найти допускаемое значение силы F, которая приложена к данной системе. Последовательность решения задачи: 1 Определить силы в стержнях, используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, и сделать проверку правильности найденных реакций. 2 Определить допускаемое значение силы, нагружающей систему, используя условие прочности ∆ σ = N/A ≤ [σ ] => [N] ≤ A·[σ ]. Стандартное значение площади равнобокого уголка, заданного в условии задачи, взять по ГОСТу 8509—72 из приложения 2.
а)
Рисунок 7
Решение: 1 Выбираем расчетную схему (рисунок 7, б), представляющую собой плоскую стержневую систему, для которой следует определить силы в стержне, используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил. Σ MD = N1 · BD – F · AD= 0 (1) Σ X = N2·sin30º - N3 · sin45° = 0 (2) Σ MB = -F · AB + N2 · cos 30° · BD + N3 · cos 45°· BD=0 (3) Из(1): N1 = F · AD/ BD = F · 3/2=1, 5F (4) Из (2) N2 = N3 · sin45°/ sin30° = N3 · 0, 707/ 0, 5 = 1, 41 N3 (5) В уравнение (З) подставляем вместо N2 выражение N2 = 1, 41N3 -F · AB = 1, 41 N3 ·cos30° · BD + N3 · cos45° · BD= 0 (6 ) Из (6) N3 = F · AB/ l, 41cos30° · BD + cos45° = F · 1/1, 41 · 0, 866 · 2 + 0, 707 · 2 = 0, 26 F (7) Подставляя (7) в (5), получаем: N2 = 1, 41N3 = 1, 41 · 0.26F = 0, 366F Проверяем правильность реакций N1, N2, N3 Y= - F – N2 · cos30° - N3 · cos45° + N1 = -F - 0, 366 · 0, 866F - 0, 26 · 0, 707F + l, 5F = 0 Y =0, следовательно, реакции стержней определены верно. 2 Так как все три стержня по условию имеют одинаковое поперечное сечение (рисунок 7. а), то допускаемое значение силы F определяем для наиболее нагруженного стержня, каким является стержень 1. σ = N/A ≤ [ σ ] => [N] ≤ A·[ σ ] Следовательно, Nmax= N1 = 1, 5F Исходя из условия прочности [N] = 1, 5F = [σ ] · 2А и учитывая, что площадь равнобокого уголка 40x40x4, А= 3, 08см2 (см. приложение 2), получаем значение допускаемой силы F = [ σ ] · 2A/1, 5=160 · 2 ·3, 08 · 102/1, 5 = 65800Н = 65, 8 кН
Задачи 26-30 Задана система трех стержней, поддерживающих абсолютно жесткую балку (рис. 6, схемы 6—10). Стержни имеют одинаковое поперечное сечение, состоящее из двух равнобоких уголков заданных размеров. Оределить допускаемое значение силы F, приняв [σ ]= 160 МПа. Весом балки пренебречь. Данные своего варианта взять из табл. 4.
Четвертая задача (задачи 31-40)К решению этой задачи следует приступить после изучения темы " Изгиб". Изгиб — это такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным: если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым. Изгибающий момент Ми в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно центра тяжести сечения: Ми =Σ m. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть: Q = Σ F. Причем все внешние силы и моменты действуют в главной продольной плоскости бруса и расположены перпендикулярно продольной оси бруса. Правило знаков для поперечной силы: силам, поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс (рисунок 8, а), а силам поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рисунок 8, 6). Правило знаков для изгибающих моментов: внешним моментом изгибающим мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсечённую часть бруса выпуклостью вниз, приписывается знак плюс (рисунок 9, а), а моментам, изгибающим, отсеченную часть бруса выпуклостью вверх, — знак минус (рисунок 9, б). Между изгибающим моментом Мx .поперечной силой Qy и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют дифференциальные зависимости: dMx/dz=Ov; DQv/dz=q На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей устанавливается взаимосвязь эпюр Мx и Qy, между собой и с внешней нагрузкой, поэтому достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.
Рисунок 8 Рисунок 9
Приведем некоторые правила построения эпюр. Для эпюры поперечных сил: 1 На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки. 2 На участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки. 3 В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет значения. 4 В сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно на значение, равное приложенной силе. 5 В концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю. Для эпюры изгибающих моментов: 1 На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке. 2 На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией. 3 В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, изгибающий момент меняется скачкообразно на значение, равное моменту приложенной пары. 4 Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю, если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в сечении равен моменту приложенной пары. 5 На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой, параллельной оси балки. 6 Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где эпюра поперечных сил проходит через нуль, меняя знаки с " +" на " -" или с " -" на " +". В рассматриваемой задаче требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а также подобрать размеры поперечного сечения балки, выполненной из прокатного профиля - двутавра. Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид: σ max = MXmax./ Wx ≤ [ σ ], где Wx — осевой момент сопротивления сечения. Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимое значение осевого момента сопротивления: Wx ≥ MXmax / [σ ]. По наибольшему моменту сопротивления Wx, подбирают соответствующее сечение по сортаменту (см. приложение 1). Для закрепленной одним концом балки строить эпюры целесообразно со свободного конца (чтобы избежать определения опорных реакций в заделке). Последовательность решения задачи: 1 Балку разделить на участки по характерным сечениям. 2 Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил. 3 Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов. 4 Для данной балки, имеющей по всей длине постоянное поперечное сечение, выполнить проектный расчет, т. е. определить Wx в опасном сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение. Пример 5Для заданной консольной балки (поперечное сечение- двутавр, [σ ] =160 МПа) построить эпюры Qy и Мx и подобрать сечение по сортаменту. Решение: 1 Делим балку на участки по характерным сечениям А, В, С (рисунок 7, а). 2 Определяем значения поперечной силы Qy в характерных сечениях и строим эпюру (рисунок 10, б):
Рисунок 10
3 Определяем значения изгибающего момента Мх в характерных сечениях и строим эпюру (рисунок 10, в): Ма = 0 МпрВ = F2· AB= 1 · 3 = 3 кН·м МлевВ = F2 · AB + M = 1 · 3 + 12 =1 5 кН·м Мпрс = F2 ·AC + M - F1 · BC = l · 5 + 12-2 · 2 = 13 кН·м 4 Исходя из эпюры Мх (рисунок 8, в) Wх = Мхтах / [σ ]=15·106/ 160= 93700 мм3 = 93, 7 см3 В соответствии с ГОСТ 8239—72 выбираем двутавр № 16, Wx= 109 см3 (см. приложение 1). Тогда σ = 15·106/ 109·102 = 136, 7 МПа Определяем процент загрузки: ∆ σ =136, 7-160 /160 ·100% = -14% недогрузки, что допускается. Задачи 31 - 40 Для стальной балки, жестко защемленной одним концом и
Таблица 5
Рисунок 11
Пятая задача (задача 41 — 50) Для того чтобы решить пятую задачу, необходимо внимательно изучить тему " Изгиб", методические указания к задаче 4, а также приведенный далее пример. Последовательность решения задачи та же, что и четвертой. Отличие лишь в том, что пятую задачу начинают решать с определения реакций опор балки и проверки правильности найденных реакций. Пример 6Для заданной двухопорной балки (рисунок 12, а) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и определить размеры поперечного сечения (h, b, d) вформе прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h/b= 1, 5. Считать [σ ] = 160 МПа. Решение: 1 Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения: МD = 0; MD = -M1+F2 · CD + M2+RВ · BD-F1 ·OD=0 RB = M1 - F2 ·CD+F1 · OD/BD=(20-30 · 10+18 · 15)/ 10=10кН MВ = 0; MВ = F1 · OB+M2-F2 ·BC-RD · BD-M1=0 Rd = (-F1 ·OB+M2 –F2 ·ВС-M1)/BD=(-18-5+10-30 · 4-20)/10=-22кН Так как реакция RD получилась со знаком минус, то изменяем ее первоначальное направление на противоположное. Истинное направление реакции RD - вниз (рисунок 12, б). Проверка: Y0= - F + RB +F2 - RD = - 18+ 10 + 30 - 22 = 0. Условие статики Yi = 0 выполняется, следовательно, реакции опор определены верно. При построении эпюр используем только истинные направления реакций опор. 2 Делим балку на участки по характерным сечениям О, В, С, D (рисунок 12, 6). 3 Определяем в характерных сечениях значения поперечной силы Qv и строим эпюру слева направо (рисунок 12, в): Qnpo = -F1 = -18кН Q леB = -F1 = -18кН Q" pb = - F1 +RB= -18 + 10 = -8кН Qлев с = -F1 + RВ + F2 = -18+10+30 = 22кН Q левD = - F1 + RB +F2 = 22кН 4 Вычисляем в характерных сечениях значения изгибающего момента Мх и строим эпюру (рисунок 12, г): Мо = 0 МВ = - F1 · АВ = - 18 · 5 = - 90кН · м Mлевс= - F1 · ОС + RB ·BC= -18·9+10·4 = -122кН·м Mпрс =.-F1· ОС + RB ·BC + М2 = -18 ·9+10 · 4+10= -112 кН ·м Mлевс = - F1 · OD+ RB ·BD + М2 +F1 · CD= -18 ·15+10 ·10 + 10 + 30· 6 = 20 кН · м
5 Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на изгиб по двум вариантам: а) сечение – прямоугольник с заданным соотношением сторон (рисунок 12, е); б) сечение – круг (рисунок 12, д). Вычисление размеров прямоугольного сечения:
Рисунок 12 Задачи 41-50 Для заданной двухопорной балки (рис. 13, схемы 1 —10) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать из условия прочности размеры поперечного сечения прямоугольника (задачи 41, 43, 45, 47, 49) или круга (задачи 42, 44, 46, 48, 50), приняв для прямоугольника h= 2b. Считать [σ ] =150 МПа, данные своего варианта взять из табл. 6.
Таблица 6
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 1490; Нарушение авторского права страницы Главная | Случайная страница | Обратная связь |
Последовательность решения задачи: 
Рисунок 6
Пример 4Абсолютно жесткая балка (рисунок 7, а)поддерживается тремя стержнями одинакового поперечного сечения, представляющего собой два равнобоких уголка с размерами 40х40х4. Определить допускаемое значение силы F, если [σ ] =[160] МПа. Весом балки пренебречь.
