![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Основная задача линейного программирования
Любую задачу линейного программирования можно свести к стандартной форме, так называемой «основной задаче линейного программирования» (ОЗЛП), которая формулируется так: найти неотрицательные значения переменных х1, х2, ..., xn, которые удовлетворяли бы условиям-равенствам
и обращали бы в максимум линейную функцию этих переменных:
L = c1x1 + c2x2 +... + cnxn => max. (8.2)
Убедимся в этом. Uo-нерпых, случай, когда L надо обратить не в максимум, а и минимум, легко сводится к предыдущему, если попросту изменить знак L на обратный (максимизировать не L, а L' = — L). Кроме того, от любых условий-неравенств можно перейти к условиям-равенствам ценой введения некоторых новых «дополнительных» переменных. Покажем, как это делается, на конкретном примере. Пусть требуется найти неотрицательные значения переменных х1, х2, х3, удовлетворяющие ограничениям-неравенствам
и обращающие в максимум линейную функцию от этих переменных:
L = 4х1 – х2 + 2х3 => max. (8.4)
Начнем с того, что приведем условия (8.3) к стандартной форме, так, чтобы знак неравенства был
А теперь обозначим левые части неравенств (8.5) соответственно через у1 и у2:
Из условий (8.5) и (8.6) видно, что новые переменные у1, у2 также должны быть неотрицательными. Какая же теперь перед нами стоит задача? Найти неотрицательные значения переменных х1, х2, х3, y1, у2 такие, чтобы они удовлетворяли условиям-равенствам (8.6) и обращали в максимум линейную функцию этих переменных (то, что в L не входят дополнительные переменные у1, у2, неважно: можно считать, что они входят, но с нулевыми коэффициентами). Перед нами — основная задача линейного программирования (ОЗЛП). Переход к ней от первоначальной задачи с ограничениями-неравенствами (8.3) «куплен» ценой увеличения числа переменных на два (число неравенств). Возможен и обратный переход: от ОЗЛП к задаче с ограничениями-неравенствами. Пусть перед нами основная задача линейного программирования с ограничениями-равенствами (8.1). Предположим, что среди этих т равенств линейно независимыми являются r Итак, всякая задача линейного программирования может быть сведена к стандартной форме ОЗЛП. Мы не будем подробно останавливаться на способах решения этой задачи. Им посвящены специальные руководства (например, [4, 5]), они описаны во многих книгах по исследованию операций (например, [6, 7]). В следующем параграфе мы изложим только некоторые соображения общего характера относительно существования решения ОЗЛП и способов его нахождения. Никакими расчетными алгоритмами мы заниматься не будем, а отошлем интересующегося читателя к вышеупомянутым руководствам.
1) Равенства называются линейно независимыми, если никакое из них нельзя получить из других путем умножения на какие-то коэффициенты и суммирования, т. е. никакое из них не является следствием остальных.)
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-09; Просмотров: 707; Нарушение авторского права страницы