Аксиомы линейного пространства

Аксиомы линейного пространства

(x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
x + y = y + x (коммутативность сложения);
(λ μ )x = λ (μ x) (ассоциативность умножения);
(λ + μ )x = λ x + μ x (дистрибутивность);
λ (x + y) = λ x + λ y (дистрибутивность);
в существует такой элемент , что для любого (нулевой элемент);
(умножение на единицу);

Если в множестве введены операции сложения и умножения на число так, что превращено в линейное пространство, то говорят, что наделено линейной структурой. Линейное пространство над называется вещественным, а над — комплексным линейным пространством.

ЛА.232. Базис пространства . Координаты вектора

Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

Обозначение:

Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

Справедливы формулы:

ЛА.233. В пространстве V3 задан базис Векторы

образовывают новый базис е’. Найти координаты вектора в новом базисе е’.

Решение

Построим матрицу перехода от е к е’:
.
Строим и, применяя равенство , получаем
.
Итак, .

ЛА.234. Действительное векторное пространство называется евклидовым, есликаждой паре его элементов поставлено в соответствие число, называемое их скалярным произведением и обозначаемое , так что:

1. , если ;

2. ;

3. ;

4. .

Нетрудно видеть, что при любом .

ЛА.235. (Неравенство Коши-Буняковского). Для любых элементов евклидова пространства

ЛА.236. Длина вектора

Длина вектора - число

Свойства:

3) (неравенство Коши-Буняковского);

4) (неравенство треугольника).

АГ.39. Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

a || b (прямая а параллельна прямой b) прямая с и прямая а не параллельны прямая с и прямая b не параллельны

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

a b||а и М

b (b - единственная)

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

отрезок СD || отрезку АВ

Свойства параллельных прямых

Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

рис. 11

Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

рис. 12

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

ФМП 12.что называется частным приращением функции f(x, y) по переменной у?

Пусть функция Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки M(x, y) Придадим переменной y в точке M произвольное приращение Δ y, оставляя значение переменной x неизменным. Тогда соответствующее приращение функции y: Δ _yZ=f(x, y+Δ y)-f(x, y).называется частным приращением функции по переменной y в точке M(x, y).

ФМП 61. Сформулируйте необходимое условие дифференцируемости функции в точке для функции многих переменных

(Необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то у нее в точке существуют все частные производные. При этом , и тем самым

, где = .

Обратная теорема неверна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

ФМП 62. Сформулируйте достаточное условие дифференцируемости функции в точке для функции многих переменных

Если функция в некоторой окрестности точки имеет все частные производные и эти производные в точке непрерывны, то функция в точке дифференцируема.

ФМП 63.Какой физический смысл градиента?

Физический смысл градиента функции (необходимо помнить, что скорость изменения функции вдоль прямой l ):

1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т.М 0.

{Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при }

3. Величина наибольшей скорости роста функции равна .

АГ 58.Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторыСкалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны).

НФ1.Дайте определение непрерывности функции у=f(х) в точке х_0.

Пусть -предельная точка множества . Говорят, что функция непрерывна в точке , если Функция , непрерывная в каждой точке множества , называется непрерывной на множестве .

НФ2.Когда мы говорим, что в точке х₀функция у=f(х) терпит разрыв

Если она в этой точке либо неопределенна либо определена, но не является непрерывной.