Множественная линейная корреляция

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

При изучении сложных явлений необходимо учитывать более двух случайных факторов. Правильное представление о природе связи между этими факторами можно получить только в том случае, если подвергнуть исследованию сразу все рассматриваемые случайные факторы. Совместное изучение трех и более случайных факторов позволит исследователю установить более или менее обоснованные предположения о причинных зависимостях между изучаемыми явлениями. Простой формой множественной связи является линейная зависимость между тремя признаками. Случайные факторы обозначаются как X₁, X₂ и X₃. Парный коэффициенты корреляции между X₁ и X₂ обозначается как r₁₂, соответственно между X₁ и X₃- r₁₂, между X₂ и X₃ - r₂₃. В качестве меры тесноты линейной связи трех признаков используют множественные коэф-фициенты корреляции, обозначаемые R₁_ּ₂₃, R₂_ּ₁₃, R₃_ּ₁₂ и частные коэффициенты корреляции, обозначаемые r_12.3, r_13.2, r_23.1.

Множественный коэффициент корреляции R_1.23 трех факторов - это показатель тесноты линейной связи между одним из факторов (индекс перед точкой) и совокупностью двух других факторов (индексы после точки).

Значения коэффициента R всегда находятся в пределах от 0 до 1. При приближении R к единице степень линейной связи трех признаков увеличивается.

Между коэффициентом множественной корреляции, например R₂_ּ₁₃, и двумя коэффициентами парной корреляции r₁₂и r₂₃ существует соотношение: каждый из парных коэффициентов не может превышать по абсолютной величине R₂_ּ₁₃.

Формулы для вычисления множественных коэффициентов корреляции при известных значениях коэффициентов парной корреляции r₁₂, r₁₃ и r₂₃ имеют вид:

Квадрат коэффициента множественной корреляции R² называется коэффициентом множественной детерминации. Он показывает долю вариации зависимой переменной под воздействием изучаемых факторов.

Значимость множественной корреляции оценивается по F-критерию:

где

n – объем выборки; k – число факторов. В нашем случае k = 3.

нулевая гипотеза о равенстве множественного коэффициента корреляции в совокупности нулю (h_o: r=0)принимается, если f_ф< f_t, и отвергается, если
f_ф³ f_т.

теоретическое значение f-критерия определяется для v₁ = k - 1 и v₂ = n - k степеней свободы и принятого уровня значимости a (приложение 1).

Пример вычисления коэффициента множественной корреляции. При изучении взаимосвязи между факторами были получены коэффициенты парной корреляции (n =15): r₁₂==0, 6; г₁₃ = 0, 3; r₂₃ = - 0, 2.

Необходимо выяснить зависимость признака X₂ от признака X₁ и X₃, т. е. рассчитать коэффициент множественной корреляции:

Табличное значение F-критерия при n₁= 2 и n₂= 15 – 3 = 12 степенях свободы при a = 0, 05 F_{0, 05} = 3, 89 и при a = 0, 01 F_{0, 01}= 6, 93.

Таким образом, взаимосвязь между признаками R_2.13= 0, 74 значима на
1%-ном уровне значимости F_ф> F_{0, 01}.

Судя по коэффициенту множественной детерминации R² = (0, 74)² = 0, 55, вариация признака X₂ на 55% связана с действием изучаемых факторов, а 45% вариации (1-R²) не может быть объяснено влиянием этих переменных.

Частная линейная корреляция

Частный коэффициент корреляции - это показатель, измеряющий степень сопряженности двух признаков.

Математическая статистика позволяет установить корреляцию между двумя признаками при постоянном значении третьего, не ставя специального эксперимента, а используя парные коэффициенты корреляции r₁₂, r₁₃, r₂₃.

Частные коэффициенты корреляции рассчитывают по формулам:

Цифры перед точкой указывают, между какими признаками изучается зависимость, а цифра после точки - влияние какого признака исключается (элиминируется). Ошибку и критерий значимости частной корреляции определяют по тем же формулам, что и парной корреляции:

Теоретическое значение t-критерия определяется для v = n – 2 степеней свободы и принятого уровня значимости a (приложение 1).

Нулевая гипотеза о равенстве частного коэффициента корреляции в совокупности нулю (H_o: r = 0)принимается, если t_ф< t_т, и отвергается, если
t_ф³ t_т.

Частные коэффициенты могут принимать значения, заключенные между -1 и+1. Частные коэффициенты детерминации находят путем возведения в квадрат частных коэффициентов корреляции:

D_12.3 = r²_{12ּ 3}; d_13.2 = r²_{13ּ 2}; d_{23ּ 1} = r²_{23ּ 1}.

Определение степени частного воздействия отдельных факторов на результативный признак при исключении (элиминировании) связи его с другими признаками, искажающими эту корреляцию, часто представляет большой интерес. Иногда бывает, что при постоянном значении элиминируемого признака нельзя подметить его статистического влияния на изменчивость других признаков. Чтобы уяснить технику расчета частного коэффициента корреляции, рассмотрим пример. Имеются три параметра X, Y и Z. Для объема выборки n = 180 определены парные коэффициенты корреляции

r_xy = 0, 799; r_xz = 0, 57; r_yz = 0, 507.

Определим частные коэффициенты корреляции:

Частный коэффициент корреляции между параметром X и Y с постоянным значением параметра Z (r_{хуּ z}= 0, 720) показывает, что лишь незначительная часть взаимосвязи этих признаков в общей корреляции (r_xy = 0, 799) обусловлена влиянием третьего признака (Z). Аналогичное заключение необходимо сделать и в отношении частного коэффициента корреляции между параметром X и параметром Z с постоянным значением параметраY (r_х_z_{ּ у}= 0, 318 и r_xz = 0, 57). Напротив, частный коэффициент корреляции между параметрами Y и Z с постоянным значением параметра X r_yz_{ּ x} = 0, 105 значительно отличается от общего коэффициента корреляции r_у_z = 0, 507. Из этого видно, что если подобрать объекты с одинаковым значением параметра X, то связь между признаками Y и Z у них будет очень слабой, так как значительная часть в этой взаимосвязи обусловлена варьированием параметра X.

При некоторых обстоятельствах частный коэффициент корреляции может оказаться противоположным по знаку парному.

Например, при изучении взаимосвязи между признаками X, У и Z - были получены парные коэффициенты корреляции (при n = 100): r_ху = 0, 6; r_х_z= 0, 9;
r_у_z = 0, 4.

Частные коэффициенты корреляции при исключении влияния третьего признака:

Из примера видно, что значения парного коэффициента и частного коэффициента корреляции разнятся в знаке.

Метод частной корреляции дает возможность вычислить частный коэффициент корреляции второго порядка. Этот коэффициент указывает на взаимосвязь между первым и вторым признаком при постоянном значении третьего и четвертого. Определение частного коэффициента второго порядка ведут на основе частных коэффициентов первого порядка по формуле:

где r₁₂.₄, r₁₃_{ּ 4}, r₂₃_{ּ 4}— частные коэффициенты, значение которых определяют по формуле частного коэффициента, используя коэффициенты парной корреляции r₁₂, r₁₃, r₁₄, r₂₃, r₂₄, r₃₄.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒