ТЕМА 2.2. МЕТОДЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И ТРАПЕЦИЙ

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

( 1 )

где - заданная и интегрируемая на отрезке функция.

Если один или оба предела равны или , то с помощью трюков с заменой переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.

Введем на сетку с переменным шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

( 3 )

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

( 4 )

на частичном отрезке и воспользоваться свойством (3).

Метод прямоугольников

Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность

Рис.2

Заменим интеграл (3) выражением , где

Тогда получим формулу

( 5 )

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке

Погрешность метода (5) определяется величиной

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в виде

( 6 )

и воспользуемся разложением

где . Тогда из (6) получим

Обозначая , оценим следующим образом:

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

( 7 )

т.е. формула имеет погрешность при .

Заметим, что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для имеем и

Составная формула прямоугольников и ее погрешность

Суммируя равенства (5) по от до , получим составную формулу прямоугольников

( 8 )

Погрешность этой формулы

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

Отсюда, обозначая , получим

( 9 )

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина .

Видим, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Заметим, что метод прямоугольников в том виде, в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям, значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки, в которых нам известно значение функции.

Метод трапеций

Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность

Рис.3

На частичном отрезке эта формула имеет вид

( 10 )

и получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени, постоенным по узлам , т.е. функцией

Для оценки погрешности достаточно вспомнить, что

Отсюда получим

и, следовательно,

( 11 )

Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для .

Составная формула трапеций и ее погрешность

Составная формула трапеций имеет вид

( 12 )

где .

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

( 13 )

где

Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки.

Числовой пример

Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при интеграл

( 14 )

В данном случае

Зная точный ответ (14), найдем погрешности

( 15 )

Вторая производная функции на отрезке отрицательна, ее модуль не превышает единицы: . Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):

Метод Симпсона (парабол)

Задача нахождения точного значения определенного интеграла не всегда имеет решение. Действительно, первообразную подынтегральной функции во многих случаях не удается представить в виде элементарной функции. В этом случае мы не можем точно вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Однако есть методы численного интегрирования, позволяющие получить значение определенного интеграла с требуемой степенью точности. Одним из таких методов является метод Симпсона (его еще называют методом парабол).

Сначала выясним смысл метода парабол, дадим графическую иллюстрацию и выведем формулу для вычисления приближенного значения интеграла. Далее запишем неравенство для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона (парабол). Следом перейдем к решению характерных примеров, снабдим их подробными комментариями. В заключении сравним метод Симпсона с методом прямоугольников и методом трапеций.

Навигация по странице.

Метод парабол (Симпсона) - суть метода, формула, оценка погрешности, иллюстрация.
Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом Симпсона (парабол).

Метод парабол (Симпсона) - суть метода, формула, оценка погрешности, иллюстрация.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл .

Разобьем отрезок [a; b] на n элементарных отрезков длины точками . Пусть точки являются серединами отрезков соответственно. В этом случае все " узлы" определяются из равенства .

Суть метода парабол.

На каждом интервале подынтегральная функция приближается квадратичной параболой , проходящей через точки . Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять , который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол.

Геометрически это выглядит так:

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f(x), синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

⇐ Предыдущая 1 23