Задача о вычислении площади произвольной криволинейной трапеции.

Рассмотрим рис. 1(а), где – некоторая непрерывная на функция.

Заштрихованная на этом рисунке фигура называется криволинейной трапецией. А S - площадь этой трапеции. Поставим, вслед за Ньютоном и Лейбницем, задачу: вывести формулу для площади S этой трапеции при заданных a, b и f(x).

Решение. Разобьем мысленно отрезок оси ох (основание трапеции) на бесконечно малые участки, как это показано на рис. 1(б). Для простоты будем считать их одинаковыми по длине. Эту бесконечно малую длину каждого участка обозначим символом dx. Если через концы этих участков провести вертикальные прямые, то вся криволинейная трапеция разобьется на бесконечно большое число бесконечно узких вертикальных полосок шириной dx. Рассмотрим одну из таких полосок (любую), и найдем ее площадь dS (см. рис. 1(б)).

Возьмем в основании полоски некоторую произвольную точку х. Так как полоска бесконечно узкая (то есть она представляет собой вертикальную нить), то х – это точка, являющаяся основанием этой нити. Согласно рис. 1(б), площадь dS рассматриваемой полоски (нити) можно найти, умножив ее высоту f(x) на ширину dx. То есть

dS = f(x)dx (1)

Впрочем, такой была бы площадь dS полоски, если бы полоска была прямоугольником с основанием dx и высотой f(x). Но наша полоска имеет сверху криволинейную границу, а f(x) - высота, на которой находится лишь одна из точек (точка М) этой границы. Все остальные точки указанной верхней границы полоски находятся, вообще говоря, на другой, хоть и близкой к f(x), высоте. Так что формула (1) для площади каждой из полосок, на которые мы мысленно разбили криволинейную трапецию, не точная, а приближенная. Но очевидно, чем уже полоска, тем точнее формула для ее площади dS. А так как наша полоска (как и все остальные) не просто узкая, а бесконечно узкая, то мы вправе считать формулу (1) точной.

Складывая теперь площади dS всех вертикальных полосок, найдем, причем точно, и всю площадь S криволинейной трапеции:

(2)

Эта сумма необычная: слагаемые в ней бесконечно малые, а число слагаемых бесконечно велико (S - суммабесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых). Этой сумме Лейбниц дал специальное обозначение.

(3)

и назвал ее определенным интегралом от функции f(x). Здесь f(x)– подынтегральная функция; f(x)dx - подынтегральное выражение; x – переменная интегрирования; a и b - пределы интегрирования (нижний и верхний).

Итак, согласно (2) и (3),

(4)

- площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 1(а).

Длина дуги

Для начала введём понятия о спрямляемой дуге и её длины.

Рассмотрим на плоскости кривую AB, заданную параметрическими уравнениями , , ( ), (8)

где функции и предполагаются непрерывными. Будем считать, что точка A отвечает значению , а точка Bзначению . При этом пусть кратных точек на кривой нет, так что различным значениям параметра отвечают и различные точки кривой.

Если считать точки кривой (чертёж 11) расположенными в порядке возрастания параметра (т.е. из двух точек ту принимать за следующую, которая отвечает большему значению параметра), то этим на кривой создаётся определённое направление (чертёж 11). Возьмём теперь на кривой AB ряд точек , идущих одна за другой в указанном направлении. Им отвечает ряд возрастающих значений параметра . Впишем в кривую AB ломаную и обозначим через p её периметр. Конечный предел s для периметра p, при стремлении к нулю наибольшей из сторон ломаной ( p ), называется длиной дуги : . Если такой предел существует, то сама кривая называется спрямляемой.

Перейдём непосредственно к выражению длины дуги интегралом.

Предположим дополнительно, что функции и , фигурирующие в уравнениях (8) незамкнутой кривой, имеют непрерывные производные и .

При этих условиях, как мы докажем, кривая спрямляема и длина дуги выражается формулой . (9)

Будем исходить из разбиения промежутка точками на части длины . Этим значениям t отвечают вершины ломаной , вписанной в дугу , и длину её можно определить как предел периметра P ломаной при стремлении к нулю. Положим , и , .

Длина i -ого звена вписанной ломаной выразится так: .

Применив к приращениям и функции порознь формулу конечных приращений, получим:

, , причём о значениях и мы ничего не знаем, кроме того, что оба они содержатся между и . Имеем теперь , так что для периметра всей ломаной получается следующее выражение:

Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде на , то преобразованное выражение , очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла (9). При стремлении к нулю эта сумма и будет своим пределом упомянутый интеграл. Для того, чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр P ломаной, достаточно обнаружить, что разность стремится к нулю.

С этой целью произведём оценку этой разности . Элементарное неравенство , если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, даст нам . Ввиду непрерывности функции , по любому заданному найдётся такое , лишь только . Если взять все , так что и . Это и доказывает наше утверждение.

Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных координатах , то, принимая x за параметр, из формулы (9), как её частный случай, получим . (9а)

Наконец, и случай полярного задания кривой также приводится к параметрическому с помощью обычных формул перехода , ; роль параметра здесь играет . Для этого случая , , так что и . (9б)

Примеры:

1). Парабола: . Приняв за начало отсчёта дуг вершину O ( x =0), для произвольной точки M c абсциссой x имеем:

2). Эллипс: . Удобнее взять уравнение эллипса в параметрической форме: , . Очевидно,

, где есть численный эксцентриситет эллипса. Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадранте, .

Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегралом второго рода; как указывалось, этот факт послужил поводом для названия «эллиптический».

В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный эллиптический интеграл . Длина же всего обвода будет .

Объём тела

Начнём с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты H, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура ( P ), имеет объём, равный произведению площади основания на высоту: .

Возьмём многоугольники и , соответственно содержащиеся в (P ), так, чтобы их площади и стремились к P. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы и высоты H, то их объёмы и будут стремиться к общему пределу , который и будет объёмом нашего цилиндра

Рассмотрим теперь некоторое тело (V ), содержащееся между плоскостями и , и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x (чертёж 7). Допустим, что (чертёж 7) все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе x, - обозначим её через P ( x ) – будет непрерывной функцией от x (для ).

Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x, то они могут либо содержаться одно в другом (чертёж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертёж 8) или лежать одно вне другого (чертёж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x, оказываются всегда содержащимися одно в другом.

В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объём, который выражается формулой . (5)

Для доказательства разобьём отрезок на оси x точками на части и разложим плоскостями , проведёнными через точки деления, всё тело на слои. Рассмотрим i -й слой, содержащийся между плоскостями и (i = 0, 1, …, n -1). В промежутке функция P (x) имеет наибольшее значение и . Если сечения, отвечающие различным значениям x в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, , то все они при сделанном предположении будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь , и содержать в себе наименьшее, с площадью . Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты , то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании сделанного вначале замечания объёмы этих цилиндров будут, соответственно, и .

Из входящих цилиндров составится тело (T ), а из выходящих – тело (U ). Их объёмы равны, соответственно, и и, когда стремится к нулю , имеют общий предел (5). Значит таков же будет и объём тела(V ).

Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости xy кривую, заданную уравнением , где непрерывна и неотрицательна. Станем вращать ограниченную её криволинейную трапецию вокруг оси x (чертёж 9а и 9б). Полученное тело (V ), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к оси x плоскость в виде концентрических кругов. Здесь , так что

Если криволинейная трапеция ограничена (чертёж 9)

и сверху и снизу кривыми и , то очевидно,

, (7)

Хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, которые получаются путём сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.

В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело ( V ) имеет объём, то он выражается формулой (6).

Примеры: 1). Пусть эллипс вращается вокруг оси x. Так как , то для объёма эллипсоида вращения найдём

Аналогично для объёма тела, полученного от вращения вокруг оси y, найдём выражение . Предполагая же в этих формулах , мы получим для объёма щара радиуса r известное значение .

2). То же – для ветви циклоиды , ( ). Параметрическое уравнение кривой облегчают выполнение подстановки , в формуле . Именно:

3). Найти объём трёхосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением (чертёж 10).

Плоскость, перпендикулярная к оси x и проходящая через точку M ( x ) на этой оси, пересечёт эллипсоид по эллипсу. Уравнение проекции его (без искажения) на плоскость yz будет таково: (чертёж 10).

, (x =const).

Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,

и ,

а площадь выразится так: .

Таким образом, по формуле (5) искомый объём .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒