Методические указания к решению контрольной работы

Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»

1. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Используем I признак сравнения. Так как , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

2. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Используем I признак сравнения. Так как , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Применим предельный признак сравнения, возьмем , который расходится, так как является гармоническим рядом. Тогда , следовательно, ряд расходится.

4. Определить сходимость ряда .

Решение.

Используем признак Даламбера. Для этого определим .

Тогда , следовательно, ряд сходится.

5. Определить сходимость ряда

Решение.

Используем признак Даламбера. Для этого определим .

Тогда , следовательно, ряд сходится.

6. Определить сходимость ряда .

Решение.

Используем радикальный признак Коши. Для этого определим . Тогда , следовательно, ряд сходится.

7. Определить сходимость ряда .

Решение.

Используем радикальный признак Коши. Для этого Тогда Таким образом, радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого условия сходимости: , следовательно, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Используем интегральный признак Коши.

, следовательно, ряд расходится.

9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Дан знакочередующийся ряд. Выясним, сходится ли данный ряд, применяя признак Лейбница:

1) проверим, выполняется ли неравенство для абсолютных величин членов ряда. , следовательно, неравенство выполняется.

2) найдем предел общего члена ряда: , следовательно, условие выполнено.

Значит, по признаку Лейбница, исходный ряд сходится.

Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Возьмем гармонический ряд , который расходится, и используем 2 признак сравнения: . Следовательно, ряд из абсолютных величин расходится.

Таким образом, получаем, что исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

10. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Найдем радиус сходимости, применяя признак Даламбера:

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при , получаем интервал сходимость: -1< x< 1.

Рассмотрим ряд на границах полученного интервала.

При х = -1: ряд сходится по признаку Лейбница.

При х = 1: ряд расходится (гармонический ряд).

Таким образом, ряд сходится при .

11. Найти область сходимости ряда .

Решение.

Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Коши::

Получаем, что ряд сходится при , следовательно, .

Таким образом, ряд сходится в одной точке .

3. Найти область сходимости ряда

Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Даламбера:

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х, так как общий член этого ряда стремится к нулю.

Вопросы к экзамену по теоретическому курсу

МАТЕМАТИКА (II семестр)

Неопределенный и определенный интегралы функции

Одной переменной

1. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.

2. Основные методы интегрирования: при помощи разложения подынтегральной функции, замена переменной, интегрирование по частям.

3. Определенный интеграл, основные свойства, геометрический смысл.

4. Формула Ньютона – Лейбница о вычислении определенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

5. Несобственные интегралы.

6. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных, параметрических и полярных координатах с помощью определенного интеграла.

7. Вычисление длины дуги плоской кривой в прямоугольных, параметрических и полярных координатах с помощью определенного интеграла.

8. Вычисление объема тела образованного вращением вокруг оси с помощью определенного интеграла.

9. Механические приложения определенного интеграла.

Кратные интегралы

10. Определение двойного и тройного интегралов, их свойства.

11. Геометрический и физический смысл двойного и тройного интегралов.

12. Вычисление двойного и тройного интегралов в декартовых координатах.

13. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

14. Замена переменных в тройном интеграле.

15. Приложения кратных интегралов.

Криволинейные интегралы

16. Криволинейные интегралы 1-го рода. Определение, свойства, вычисление, приложения.

17. Криволинейные интегралы 2-го рода. Определение, свойства, вычисление, приложения.

Дифференциальные уравнения

18. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия.

19. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

20. Однородные и приводящиеся к однородным дифференциальные уравнения.

21. Линейные уравнения. Метод Бернулли.

22. Уравнение в полных дифференциалах.

23. Дифференциальные уравнения высших порядков, основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка.

24. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

25. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго и высших порядков.

26. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

27. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго и высших порядков. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью.

28. Системы дифференциальных уравнений.

Числовые и степенные ряды

1. Числовые ряды: основные понятия, необходимый признак сходимости числового ряда.

2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения рядов, признак Даламбера, радикальный и интегральный признак Коши.

3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.

4. Функциональные ряды.

5. Сходимость степенных рядов. Теорема Н. Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Приложение 1.

Таблица дифференцирования сложных функций