Матрицы, таблицы характеров и представления

 

Графические изображения операций симметрии, приведенные в первой главе, вполне удовлетворительно описывают одиночные операции симметрии. Тем не менее, они становятся неудобными, если нам нужно рассматривать последовательные операции, и, что более важно, (they provide no stepping-off point) не обеспечивают непрерывность действий, если намнадо соотнести молекулярную симметрию с такими вопросами, как уровне энергии в молекуле и спектроскопия.

Поэтому нам нужно описание операций симметрии на более математическом языке. И первым шагом на этом пути является способность описывать и объединять операции симметрии с помощью использования матриц.

 

2.1 Введение в использование матриц – некоторые определения

Матрицы – это наборы тех или иных чисел или переменных, которые могут иметь

различные формы и размеры. 4 основных формы - это матрица-столбец, матрица-строка, квадратная матрица и прямоугольная матрица, примеры которых приведены ниже. Каждое число или переменная в матрице называется элементом матрицы, и его положение описывается системой координат, в которой первой указывается строка, начиная сверху, а вторым - столбец, начиная с левой стороны.

Таким образом, матрица W является матрицей-столбцом с тремя элементами W₁₁, W₂₁ и W₃₁, матрица X – матрица-строка с элементами X₁₁, X₁₂ и X₁₃. Квадратная матрица Y состоит из девяти элементов, и, следуя нашей системе отсчёта, мы можем определить, например, что элементы Y₂₂ и Y₃₁, это числа 4 и 6 соответственно. Точно так же Z квадратная матрица, состоящая в целом из шести элементов.

Матрицы находят широкое применение в различных областях науки. В Приложении III приведены несколько дополнительных источников материалов, которые подробно описывают свойства матриц.

При описании операций симметрии в данном пособии будут использоваться только два типа матриц – матрицы-столбцы и квадратные матрицы. При этом изначально мы должны знать только два дополнительных определения – диагонали матрицы и характера матрицы вместе с правилами, которые управляют умножением матриц.

Мы будем сталкиваться с понятиями «диагональ» и «характер» только для квадратных матриц, и хотя вообще говоря, квадрат имеет две диагонали, термин «диагональ»при применении непосредственно к матрице относится к главной диагонали, которая для матрицы М определяется элементами М₁₁, М₂₂, М₃₃ и т.д., то есть верх находится слева, а низ – справа.

Характер матрицы- -это сумма элементов её диагонали, которая обозначается символом χ. Для матрицы Y, например, χ равен 13.

 

Умножение матриц

 

Умножение матриц, на первый взгляд кажется более сложным действием, чем простое умножение чисел. Во-первых, не все матрицы могут быть перемножены между собой, и, во-вторых, для тех, которые можно умножать, результат такой операции - обычно третья матрица, должен включать в себя все элементы двух исходных матриц.

Правила, которым подчиняется умножение матриц, в общем виде могут быть сформулированы для двух матриц А и В, произведением которых является третья матрица – С. Если мы обозначим каждый элемент в матрице C как C_ij, где i и j относятся к строке и столбцу, в котором находится элемент, соответственно, тогда значение C_ij получаем из:

C_ij=Σ Aik*Bkj для действия A x B = C.

В этом выраженни суммирование проводится от k=1 до максимального значения k, определяемого размером матрицы.

Для примера рассмотри умножение двух 2х2 квадратных матриц P и Q, и

возникающую в результате новую матрицу R:

R₁₁ = P₁₁* Q₁₁ + P₁₂*Q₂₁ = 1 x 3 + 2 x (-2) = -1

R₁₂ = P₁₁* Q₁₂ + P₁₂*Q₂₂ = 1 x 1 + 2 x 0 = 1

R₂₁ = P₂₁* Q₁₁ + P₂₂*Q₂₁ = 3 x 3 + 1 x (-2) = 7

R₂₂ = P₂₁* Q₁₂ + P₂₂*Q₂₂ = 3 x 1 + 1 x 0 = 3

Следует отметить, что эта операция подразумевает особый порядок при проведении умножения, т.е. P x Q. Противоположный порядок – Q x P приведёт к иным элементам матрицы, таким как например

R'₁₁ = Q₁₁ * P₁₁ + Q₁₂ * P₂₁ = 3 x 1 = 1 x 3 = 6

который в данном случае полностью отличается от R₁₁.

Это показывает важные отличия между умножением матриц и умножением чисел. Простое умножение коммутативно, т.е. 2 х 3 = 3 х 2, однако умножение матриц коммутативно только тогда, когда обе матрицы симметричны относительно главной диагонали.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. 4. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РАЗВИТИИ ГИБКСТИ
2. II. Порядок представления статистической информации, необходимой для проведения государственных статистических наблюдений
3. II.4. Набор прографки таблицы и вывода
4. IV. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ВООБРАЖЕНИЕ
5. VIII. Порядок и сроки представления выпускной квалификационной работы к защите
6. XXIII. ОБРАЗЫ, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОСНОВЕ ВСЕХ НАШИХ ДЕЙСТВИЙ
7. Акцентуации характера, критерий и виды. Классификации акцентуированных характеров по К. Леонгарду и А.Е. Личко.
8. Анализ таблицы видов деятельности (на следующей сессии)
9. Анализ традиционных языков программирования и представления знаний.
10. Архитектура – зодчество, строительное искусство, выражающее в художественно-образной форме представления человека о мире.
11. Ближайшим основанием кризиса юности является соотнесение идеального представления о профессии и реальной профессии, необходимость действенного подтверждением профессионального выбора.
12. В приложения надо выносить объемные таблицы, которые занимают 1,5-2 и более страниц, а также не заполненные макеты таблиц.