І Элементы симметрии, операции симметрии и точечные группы

І Элементы симметрии, операции симметрии и точечные группы

С самого начала обучения в школе дети учатся описывать «симметричные» формы с помощью двух разных элементов симметрии - плоскости, или «линии» симметрии и оси симметрии. Этиэлементы симметрии наиболее легко «узнать» и они есть у большинства симметричных молекулярных образований, структур. В общем, форма обладает плоскостью симметрии, если операция отражения относительно плоскости приводит к эквивалентному зеркальному изображению.Подобным образом, фигура обладает осью симметрии, если простое вращение относительно такой оси приводит к эквивалентной конфигурации.

 

1.1 Плоскость симметрии: символ σ

Здесь стоит познакомиться со схемой символов (обозначений), которая в этом пособии используется дляобозначения элементов симметрии. Это - система Шенфлиса, согласно которой плоскость в общем виде обозначается символомσ. Тем не менее, во многих случаях необходимо более точно указывать расположение плоскости в молекуле.

Рис.1.1

Поэтому для того, чтобы установить позицию плоскости относительно других элементов симметрии (или установить систему координат), добавляются различные подстрочные символы, такие как h(горизонтальная), v(вертикальная), d - диэдральная или, например, xz-для обозначения положения плоскости относительно координатных осей.

На Рис. 1.1 показаны позиции (положения) единственной плоскости симметрии в пирамидальной молекулеPCl₂F. Если система координат выбрана таким образом, как показано, то это будетплоскость σ (xy).

 

1.2 Собственная ось вращения: символ C_n

 

Простые или собственные поворотные осиобозначаются символомC_n,

Рис.1.2

где n обозначает порядок оси. Этот элемент симметрии присутствует в тех случаях, когдаповорот на угол360^о/n приводит к конфигурации эквивалентной первоначальной.

На рис 1.2 показаны различные простые формы, в которых присутствуют оси вращения C_n (n =2 - 4).

Помимо того, что оси C_nважны как элементы симметрии, с их помощью мы определяем ориентацию формы относительно обычной, (обычно используемой, повседневной, бытовой)терминологии, такой как «вертикаль» или «горизонталь». Обычно, если форма содержит только одну ось симметрии, то направление этой оси принимают за вертикальное, какая бы ориентация не встретилась бы нам в книге. Если у формы есть несколько осей разных порядков, то «вертикаль» связывают (соотносят) с направлением оси наивысшего порядка.

Как только мы задали «вертикаль», мы можем использовать это направление для описания природы различных плоскостей, присутствующих в форме. Эти плоскости могут содержать в себе вертикальную ось, и обозначаться какσ _v иσ _d, илирасполагаться

Рис.1.3

перпендикулярно к ней, и получить название «горизонтальных», σ _h. Различие междуσ _v иσ _d будет описано далее.

На Рис. 1.3 приведено расположение элементов симметрии в молекуле PCl₃.В дополнение к оси С₃, в молекуле есть три плоскости симметрии, обозначенные как σ _v, σ _v¢ и σ _v¢ ¢, но, несмотря на расположение, все три плоскости будут описываться как вертикальные.

Время от времени бывает так, что нет единственной оси симметрии высокого порядка, к которойможно однозначно применить термины «вертикаль» или «горизонталь».

Рис.1.4

На Рис. 1.4 и 1.5 проиллюстрировано присутствие трёх осей симметрии второго порядка в простой ромбической форме и в заглавной букве «Н». Две из осей С₂ лежат в плоскостистраницы и обозначены как С₂ и С₂¢, а третья ось С₂ перпендикулярна плоскости. Прямоугольная призма, показанная на Рис. 1.6, также обладает тремя взаимно перпендикулярными осями С₂. Для этой формы термины

Н

Рис.1.5

«вертикаль» и «горизонталь»выбираются внекоторой степени произвольно, и ситуация упрощается тем, что три оси выбираются в качестве осей x, y, z декартовой системы координат и обозначаются как С₂(x), С₂(y) и С₂(z) соответственно. Плоскости симметрии в этой форме, таким образом, будут обозначены какσ (xz), σ (yz)и σ (xy).

Рис.1.6

 

 

Элементы и операции

 

В структуре ромба, приведенной ранее, наличие оси С₂ или плоскостей эффективно определяется с помощью соответствующей им операции симметрии - вращения или отражения, и может показаться, что нет нужды делать различия между элементом симметрии и операцией, которая ему соответствует. Тем не менее, существует важное различие между этими двумя терминами, как может быть показано при анализе элементов симметрии и их операций для структурыPCl₃ (см. рис 1.3). Здесь каждая из плоскостей симметрии различна и каждая имеет только одну легко идентифицируемую операцию. Плоскость, обозначенная какσ _v, меняет местами атомы 2 и 3, в то время как атом 1 остаётся на месте. Подобным образом двум другим плоскостям соответствуют две простые операции.

Тем не менее, единственная поворотная ось, С₃, может давать начало двум различным операциям симметрии, каждая из которых приводит к конфигурации, эквивалентной начальной позиции: вращению против часовой стрелкина 120^о (1 переходит в 2), а также вращению на 240^о (1 переходит в 3). Это двеотдельные операции, обозначенные символами С₃¹ и С₃² соответственно, но ось С₃ только одна.

Подобным образом обстоит дело и с осями высших порядков, такими

Рис.1.7

как присутствующая в простом квадрате ось С₄. Она даёт начало четырём различным операциям -С₄¹, С₄² и С₄³, приводящим к повороту на 90^о, 180^о и 270^о соответственно, как показано на Рис. 1.7

Финальная стадия последовательности поворотов - поворот на 360^о, (будет обозначена как С_nⁿ), приведёт к появлению не просто эквивалентной, а идентичной начальному положению конфигурации. Такой поворот не рассматривается, как операция для оси С_n. Как уже обсуждалось, этой операцииэквивалентен специальный элемент симметрии - идентичность (символ Е).

 

Совпадающие оси

 

При более пристальном изученииоперации C₄² на Рис.1.7 мы увидим, что эта операция соответствует повороту на 180^о, и таким образом, она идентична эффекту от поворота второго порядка относительно той же самой оси. В результате мы приходим к выводу, что существует ось С₂, совпадающая с осью С₄. По этому мы можем, по существу, исключить поворот С₄² из группы вращений, связанный с осью С₄ и вместо этого рассматривать его как операцию для оси С₂.

Подобная ситуация возникает при анализе других форм с осями симметрии С_n

Рис.1.8

высокого порядка, например, правильного шестиугольника. Здесь (Рис. 1.8) пятьопераций поворотов против часовой стрелки -С₆¹, С₆², С₆³, С₆⁴ и С₆⁵ переведут атом из позиции 1 в позицию 2, 3, 4, 5 и 6 соответственно. Однако, операцияС₆³эквивалентна повороту на 180^о, а С₆²иС₆⁴ приводят к повороту на 120^о и 240^o соответственно. Поэтому мы можем идентифицировать (найти) обе совпадающие с С6 оси: С₂ иС₃. Операция С₆⁶ описывается символом Е.

В результатевсего вышесказанного собственные вращения (повороты), связанные с этой осью классифицируются как С₆¹, C₃¹, С₂, С₃² и С₆⁵.

 

 

1.5 Зеркально-поворотная ось: символ S_n

 

Рис.1.9

В порядке представления (для того, чтобы представить) вращательную эквивалентность, присущую некоторым фигурам, необходимо ввести второй тип вращательных осей симметрии – зеркально-поворотную ось. В общем виде она обозначается символомS_n, и операции, связанные с этой осью проиллюстрированны ниже. Этот элемент симметрии известен также как несобственная ось вращения.

На Рис. 1.9 (а) показаны относительные позиции атомов вB₂Cl₄. Эта молекуласодержит одну связь В-В (соединяющую атомы 5 и 6) и четыре эквивалентных связи атомов бора с атомами хлора в положениях 1-4. Наиболее наглядно эту структуру можно представить в виде квадратной призмы, как показано на рисунке.Ось С₂, проходящая вдоль связи В-В, связывает атомы хлора в позициях 1 и 2 с находящимися в позициях 3 и 4 соответственно.Тем не менее, позиции всех четырёх атомов хлора связаны между собой посредством нового элемента симметрии. Этот элемент способен перемещать атом хора из позиции 1 последовательно по схеме 1-2-3-4-1. Элемент симметрии, проявляющий данное свойство - это зеркально-поворотная ось S₄, которая также лежит вдоль связи В-В.

Как следует из названия, последовательность действий для осиS₄ состоит из двух стадий. Первая стадия - это поворот на 90^o в соответствии с которым, как и при операции С₄¹, каждый атом переносится в промежуточное положение, показанное на Рис. 1.9 (b). Этот поворот сопровождается затем отражением в плоскости, перпендикулярной связи В-В (рис 1.9 (с)). Этот второй шаг затрагивает и атомы бора.

Стоит обратить внимание, что эта перпендикулярная плоскость не обязательно должна реально присутствовать как элемент симметрии в молекуле.

В результате двустадийная операция S₄¹ переведёт атомв позиции 1 в позицию 2, а родственные операцииS₄² и S₄³переместят егоиз позиции 1 в позиции 3 и 4 соответственно, причём каждая стадия включает поворот на 90^o с последующим отражением. Однако, если в молекуле присутствует ось S₄, то всегда есть и ось С₂, совпадающая с ней, и операцию S₄²относят к повороту С₂, так же как и С₄². Для зеркально-поворотных осей S_nс n> 2всегда существуют совпадающие с ними обычные поворотные оси того же или более низкого порядка.

Ось S₁, по сути, включает в себя только отражение и таким образом эквивалентна плоскости, а осьS₂соответствует следующему элементу симметрии – центру симметрии.

 

Центр симметрии: символ i

 

Центр симметрииструктуры (иногда его называют центром инверсии), это та особенная точка, через которую можно спроецировать каждую другую точку структуры в эквивалентное положение на противоположной стороне от центра. Если использовать математические термины, то центр симметрии будет существовать как начало координат (0, 0, 0, ), если для каждой точки(x, y, z) в структуре существует эквивалентная точка с координатами (-x, -y, -z).

Молекулы, содержащие центр симметрии называют центросимметричными молекулами, и далее мы увидим, что наличие этого элемента симметрии важно при рассмотрении спектроскопических свойств этих молекул.

Рис.1.10

Данный элемент симметрии присутствует во многих структурах высокой симметрии, таких как квадрат (рис 1.7) и правильный шестиугольник (рис 1.8). Часто он встречается вместе с плоскостямии осями, но может существовать и в гордом одиночестве. На Рис.1.10 показана структура с расположением атомовв шахматном порядке, похожая на заторможенную конформацию молекулы этана, в которой атомы водорода замещены на атомыX, Y и Z. Здесь мы не можем найти оси или плоскости симметрии, но центр остаётся, с атомамиС₁, X₁, Y₁и Z₁ связанными с С₂, X₂, Y₂и Z₂с помощью отражения (инверсии) через центр, расположенный посерединесвязи С-С. Отдельные формы могут иметь только центр симметрии.

 

Идентичность: символ Е

 

Этот последний из элементов симметрии присутствует во всех формах. Относящаяся к

Рис.1.11

нему операция приводит к тому, что объект остаётся в конфигурации, идентичной изначальной.Простейший способ добиться этого – не делать ничего, но идентичность эквивалентна повороту С_nⁿ, как отмечалось ранее, или операции С₁. Как мы увидим в части 2, включение этого элементав перечень элементов симметрии возникает из требований теории групп, и его важность будет рассматриваться далее при анализе последовательных операций симметрии и при построении таблиц умножения. На Рис.1.11 представлена молекула MABCD, в которой существует только один элемент симметрии - идентичность Е.

 

 

Заключение

Основной задачей этой главы было ознакомление с разнообразными элементами и операциями симметрии, которые лежат приводят к описанию молекулярной симметрии в терминах точечных групп. Кроме того, надеемся, что хотя бы некоторые из приведенных примеров поспособствуют более широкому пониманию и вызовут интерес к данной теме.

Приведенные ниже задачи и упражнения созданы для развития навыков определения элементов симметрии и точечных групп. Большинство задач имеют только один правильный ответ, но некоторые из упражнений более неоднозначны, что, как мы надеемся, поспособствует развитию дискуссии.

 

Задачи и упражнения

1. Определите точечную группу следующих молекул:

(a) BF₃, (b) SbF₅Cl, (c) CH₃Br, (d) транс- CHCl=CHCl

2. Какая из структур содержит центр инверсии и зеркально-поворотные оси, установите их количество.

3. Нарисуйте объект с симметрией D₄, а также его оптический изомер.

4. Нарисуйте объект, который может иметь симметрию С_9h. Как надо изменить его структуру, чтобы симметрия понизилась до С₉?

 

Умножение матриц

 

Умножение матриц, на первый взгляд кажется более сложным действием, чем простое умножение чисел. Во-первых, не все матрицы могут быть перемножены между собой, и, во-вторых, для тех, которые можно умножать, результат такой операции - обычно третья матрица, должен включать в себя все элементы двух исходных матриц.

Правила, которым подчиняется умножение матриц, в общем виде могут быть сформулированы для двух матриц А и В, произведением которых является третья матрица – С. Если мы обозначим каждый элемент в матрице C как C_ij, где i и j относятся к строке и столбцу, в котором находится элемент, соответственно, тогда значение C_ij получаем из:

C_ij=Σ Aik*Bkj для действия A x B = C.

В этом выраженни суммирование проводится от k=1 до максимального значения k, определяемого размером матрицы.

Для примера рассмотри умножение двух 2х2 квадратных матриц P и Q, и

возникающую в результате новую матрицу R:

R₁₁ = P₁₁* Q₁₁ + P₁₂*Q₂₁ = 1 x 3 + 2 x (-2) = -1

R₁₂ = P₁₁* Q₁₂ + P₁₂*Q₂₂ = 1 x 1 + 2 x 0 = 1

R₂₁ = P₂₁* Q₁₁ + P₂₂*Q₂₁ = 3 x 3 + 1 x (-2) = 7

R₂₂ = P₂₁* Q₁₂ + P₂₂*Q₂₂ = 3 x 1 + 1 x 0 = 3

Следует отметить, что эта операция подразумевает особый порядок при проведении умножения, т.е. P x Q. Противоположный порядок – Q x P приведёт к иным элементам матрицы, таким как например

R'₁₁ = Q₁₁ * P₁₁ + Q₁₂ * P₂₁ = 3 x 1 = 1 x 3 = 6

который в данном случае полностью отличается от R₁₁.

Это показывает важные отличия между умножением матриц и умножением чисел. Простое умножение коммутативно, т.е. 2 х 3 = 3 х 2, однако умножение матриц коммутативно только тогда, когда обе матрицы симметричны относительно главной диагонали.

 

Матрицы для отражений

Как можно заметить на рис 2.4, операция отражения в плоскости σ (xy) переведёт точку P (X, Y, Z) в положение Т (X, Y, -Z), и в матричном представлении это будет в итоге выглядеть как:

Матрицы для отражений в плоскостях σ (xz)и σ (yz) соответственно:

Рис. 2.4

 

 

Матрицы для Е и i

Матрицы, описывающие операции идентичности и инверсии для точки общего положения P (X, Y, Z) очень логичны. В результате операции идентичности все координаты останутся на своих местах, и операции инверсии относительно центра, расположенного в начале координат (0, 0, 0) переведут точку (X, Y, Z) в положение (-X, -Y, -Z).

 

Матрицы для операцийЕ и I приведены ниже.

 

Последовательные операции симметрии в точечной группе D₂

Теперь у нас есть возможность анализировать эффект от проведения последовательных операций симметрии и с помощью изображений и с помощью использования простых матриц. Одна из наиболее лёгких для понимания систем возникает, когда все важные операции симметрии включают простое вращение.

На Рис. 2.5 показана точка общего положения P (X, Y, Z) в системе Декартовых координат,

Рис. 2.5

где оси С₂ лежат вдоль направлений x, y, z каждая. Совокупность этих эелементов вместе с идентичностью составляет точечную группуD₂.

Вращение относительно x посредством С₂ (x) переведёт Р в положение Q с координатами (X, -Y, -Z), и последующее вращение относительно у с помощью С₂ (у) спроецирует Q в точку S c координатами (-X, -Y, Z).

Если затем мы проведём операцию поворота относительно С₂ (z) к точке S. Мы вернёмся в из начальную позицию Р.

Отдельные операции могут быть записаны как:

C₂ (x)P ® Q, C₂ (y) Q ® S, C₂ (z)S ® P

А полная последовательность операций как:

C₂ (z) * C₂ (y) *C₂ (x)P ® P

Отметим, что первая из проведенных операций, С₂ (x) при записи последовательных операций находится правее всех.

Эти последовательные операции иллюстрируют одну из наиболее важных особенностей точечных групп: результат проведения двух или более последовательных операций может в большинстве случаев получиться независимым применениям другой операции из группы.

В данном случае, результат двух первых операций

C₂ (y) *C₂ (x)P ® S может быть получен при помощи C₂ (z)P ® S,

т.е. C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (z)

Полная последовательность C₂ (z) * C₂ (y) *C₂ (x) эквивалентна Е.

 

Понятие о представлениях

В приведенных выше таблицах умножения для D₂ и C_2v групп отдельные операции симметрии встречались в виде символов, таких как E, C₂ (z) и т.д., однако, таблицы умножения останутся правильными, если вместо использования этих символов мы заменим их на матрицы, которые мы использовали ранее для представления различных операций симметрии.

Тот факт, что мы можем использовать группу матриц для того, чтобы представить операции симметрии лежит в основе общего понятия о представлении как о наборе матриц, которые могут быть расположены в соответствии с операциями симметрии в группе и которые подчиняется тем же условиям, что и элементы таблицы умножения.

В то же время, матрицы, которые определяют судьбу точки P (X, Y, Z) в ранее приведенном примере не уникальны в этой своей способности и не являются простейшим набором матриц, который ведёт себя подобным образом.

Рис. 2.7, на котором показаны элементы симметрии точечной группы C_2v можно

Рис. 2.7

использовать для изучения влияния различных операций симметрии на единичный вектор х₁. Идентичность Е и операция σ (xz) оставят этот вектор без изменений, а σ (yz) и C₂ (z) опменяют его направление на противоположное, что может быть выражено как:

Е (х₁) ® (х₁), C₂ (z) (х₁) ® - (х₁)

σ (xz) (х₁) ® (х₁), σ (yz) (х₁) ® - (х₁).

Далее, мы можем представить коэффициенты с правой стороны каждого из этих выражений в виде 1 х 1 матрицы (+1), (-1), (+1) и (-1), которая представляют соответствующие операции симметрии подобно тому, как матрица 3 х 3 описывает перемещения точки P (X, Y, Z).

Эти числа также подчиняются правилам, представленным в таблице умножения C_2v, как мы можем увмидеть если операции симметрии в группе C_2v будут заменены на соответствующие коэффициенты., т.е.

Е= +1

C2 (z)= -1

, σ v (xz)= +1

σ v' (yz)= -1

 

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
E		-1		-1
C2(z)	-1		-1
sv(xz)		-1		-1
s¢ v(yz)	-1		-1

Эти матрицы1 х 1 также составляют представление, что может быть представлено как

Рис. 2.8

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
	-1		-1

(обычно знак + игнорируют).

Подобным образом, если мы рассмотрим влияние различных операций симметрии на векторы y₁ и z₁, мы добавим ещё два представления. Для y₁ мы получаем (Рис. 2.8):

Е (y₁) ® (y₁), C₂ (z) (y₁) ® - (y₁)

σ (xz) (y₁)® - (y₁), σ _v' (yz) (y₁) ® (y₁)

В результате получается такое представление:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
	-1	-1

а для z₁ мы получаем (Рис. 2.9) следующее.

Рис. 2.9

 

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)

 

Оба этих представления также подчиняются правилу таблиц умножения.

2.5 Неприводимые представления более подробное знакомство с таблицами характеров.

Три представления, которые приводились выше возникли в результате использования векторов х_1, y₁ и z₁ для иллюстрации эффекта, который оказывают различные операции симметрии в точечной группе C_2v. Это три представления – наиболее простые представления, которые существуют для этой точечной группы, известны как неприводимые представления.

Векторы, которые привели нас к этому неприводимому представлению, являются примерам базиса и в дальнейшем мы будем говорить, что х_1, y₁ и z₁являются базисом неприводимого представления:

-1

-1;

-1

-1

1;

и

 

Четвёртое и последнее неприводимое представление в C_2v является результатом записи одномерной матрицы:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
		-1	-1

 

Представления в таблице характеров C_2v

В Части І таблицы характеров были представлены как выражающие итог различных операций симметрии в точечной группе, и теперь пришло время анализировать добавочную информацию, которая содержится в этих таблицах. Также нам известно, что термин «характер» относится к сумме диагональных элементов матрицы. Полная таблица характеров для точечной группы C_2v приведена ниже:

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)	h=4
А1					z	x2, y2, z2
А2			-1	-1	Rz	xy
В1		-1		-1	x, Ry	xz
В2		-1	-1		y, Rx	yz

 

Вдоль внешней верхней строки могут быть найдены четыре операции симметрии в данной точечной группе: идентичность, ось С₂ и две плоскости. Эти символы также подтверждают расположение координатных осей. Основная часть таблицы содержит характеры неприводимых представлений, которые обсуждались ранее. И поскольку эти представления являются одномерными матрицами, характеры идентичны собственно матрицам.

Буквы, записанные сверху вниз в крайнем левом столбце, используются для того, чтобы различать представления между собой с помощью особого обозначения. Полностью симметричное неприводимое представление помечается как А₁ и относится к строке +1 находящейся под каждой операцией симметрии. Под ним находятся три других неприводимых представления. Обозначенных как А₂, В₁ и В₂.

На правом краю таблицы мы можем обнаружить несколько математических функций, таких как «x» или «xy» или родственные им символы «R_x» или «R_y». Обычно есть два столбца с такими символами: в крайнем правом перечислены возведённые в квадрат или перемноженные между собой, например «x²», «y²» и «xy» а внутренний столбец содержит «x», «y» и «z» вместе с символами, обозначающими вращение относительно отдельных осей - «R_x».

Эти функции или символы помещены в ту же самую колонку, что и неприводимое представление, к которому они относятся и могут быть использованы как основа для того, чтобы проиллюстрировать соответствующие представления.

На рисунке 2.7 представлен результат применении различных операций симметрии этой точечной групп к вектору х₁, конечным результатом которых является неприводимое представление:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
	-1		-1

 

Это представление носит обозначение В₁ в таблице характеров и его взаимосвязь с вектором х₁становится ясной если поместить функции от «х» в ту же самую строчку, что и В₁:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
В1		-1		-1	х

 

Существуют различные пути выражения соответствия между математической функцией и её неприводимым представлением. Один способ - сказать что «х имеет ту же самую симметрию, что и В₁», или «х имеет симметрию В₁», в то время как другой-сказать. Что «х - это базис представления В₁». Подобным образом, функции «y» и «z» в этом столбце связаны с представлениями В₂ и А₁.

Для того, чтобы найти соответствующую (родственную, подобную) функцию, которая является базисом для представления А₂, мы ввадим крайнюю правую колонку. Здесь представлены элементы (компоненты, составляющие), возведённые в квадрат и перемноженные между собой, и таблица характеров показывает, ч то один из них «xy» может использоваться для иллюстрации представления А₂.

На рис 2.10 показано расположение d_xy орбитали относительно Декартовых

Рис. 2.10

координат. Ось z перпендикулярна плоскости страницы. Волновая функция этой орбитали

Имеет те же самые свойства симметрии, что и функция «xy», в том что она положительна, когда функции х и у обе положительны или обе отрицательны, и отрицательна, если х и у имеют противоположные знаки.

Таким образом, в результате проведения четырёх операций симметрии возникают следующие взаимоотношения:

E (d_xy) ® (+1) (d_xy), C₂ (z) (d_xy) ® (+1) (d_xy),

σ (xz) (d_xy) ® (-1) (d_xy), σ _v' (yz) (d_xy) ® (-1) (d_xy)

и коэффициенты соответствуют представлению А₂.

 

Неприводимые представления в таблице характеров точечной группы D₂

Таблица умножения для группы D₂, которая была выведена ранее, имеет много общего с таблицей для C_2v иэто сходство сохраняется когда мы сравниваем две таблицы характеров

D2	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)	h=4
А1		-1		-1		x2, y2, z2
В1			-1	-1	z, Rz	xy
В2		-1		-1	y, Ry	xz
В3		-1	-1		x, Rx	yz

 

:

Таблица характеров группы D₂ также имеет четыре неприводимых представления. Которые могут быть записаны как одноразмерные матрицы, и функции х, у и z снова являются подходящим базисом для трёх из них В₃, В₂ и В₁ соответственно. В группе D₂, тем не менее есть полностью симметричное представление, обозначенное как «а», которое тербует базис функций, находяшщийся в крайнем правлм столбце. Это может быть любой

Рис. 2.11

из элементов «x²», «y²» или «z²», или сумма или разность этих элементов..

На рис 2.11 показана характеристичная конфигурация d_x²_-y² орбитали по отношению к трём осям С₂ в этой точечной группе симметрии. Вращение вокруг любой из этих x, y, или z осей приводит к возникновению эквивалентной конфигурации. Все уравнения, описывающие влияние различных операций симметрии на d_x²_-y² орбиталь поэтому содержат одноразмерную матрицу (=1).Поэтому данная орбиталь может использоваться как базис для иллюстрации представления 2А» в точечной группе D₂.

 

Заключение

В этом разделе мы ознакомились со свойствами простых матриц и с их использованием в качестве представлений для операций симметрии. Представление о том, что эти операции могут формировать группу, проиллюстрировано с помощью таблиц умножения для групп, и, в частности, показано, как простые математические функции могут выступать в роли базисов неприводимых представлений в точечных группах C_2v и D₂. Предлагаемые ниже упражнения поспособствуют более свободному использованию матриц и дальнейшему анализу использования таблиц характеров.

 

Упражнения

 

1. Ниже приведены матрицы P, Q, R. Вычислите характеры матриц, полученных в результате умножения:

(1) P x P; (2) Q x P; (3) R x P

2. Используя матрицы для операций, которые приводились выше по тексту (Е, C₂ (z) и т.д.) получите одну операцию симметрии, которая эквивалентна (1) C₂ (x) x σ (xy); (2) σ (xz) x E x i; (3) C₂ (z) x C₂ (x) x σ (yz)/

3. Найдите представления, которым соответствуют функции х, y² xy принадлежащие точечной группе D_2h. (приложение ІІ)

4. предложите математическую функцию, которая может быть использована как базис для 1) представления A_g в группе D_2h; 2) представления A_u в группе C_2h 3) представленияB₁g в группе D_2h.

 

 

Приводимые представления

 

Наборы чисел, которые определяли эти четыре представления, это единственные такие числа, которые подчиняются данной таблице умножения, за исключением набора нулей,

Рис. 3.1

однако не так уж и трудно найти наборы матриц, которые будут вести себя аналогично. Если мы рассмотрим приведенную на Рис. 3.1. матрицу 2 х 2, то следуя описанным ранее правилам умножения матриц, мы можем увидеть, что:

И, в результате, такая матрица может занимать место каждой из операций симметрии Е, C₂ (z), σ _v (xz) и σ _v' (yz) в таблице умножения для группы C_2v.Четыре таких матрицы могут поэтому составлять представление тем же самым путём, что и «числа» 1, 1, 1 и 1.

Однако, представление, сформированное такими матрицами, теперь является приводимым, а не неприводимыми, и может быть разбито на два более простых представления.

На Рис. 3.2 показано, как четыре приведенные выше матрицы 2 х 2 образуют

Рис. 3.2

представление, если мы решили провести операции симметрии в точечной группе C_2v по отношению к векторам z₁ и n₁. Мы уже видели, что z₁ сам по себе может быть использован для иллюстрирования представления А₁, и то же самое очевидно для n₁ пока он не подвергается воздействию любой из операций симметрии. Если векторы z₁ и n₁. рассматривать вместе, результат может быть выражен, например, таким образом

Получающееся представление, которое может быть обозначено, как «Γ _zv», теперь выглядит так:

Очевидно, что это представление слагается из представления А₁ для z₁ и представления А₁ для n₁, и присутствие обеих этих компонентов показано ниже:

With the reduction step можно заключить, то Γ _zv=2А₁.

На рисунке 3.3. установлен порядок действий для идентификации приводимого

Рис. 3.3

представления Г_xyz, которая описывает результат использования трёх векторов – x₁, y₁ и z₁ как базисов. Эти три матрицы составляю представление Г_xyz.

Возникшие теперь матрицы 3 х 3 идентичны тем, которые выводились ранее при рассмотрении эффекта, производимого различными операциями симметрии на точку P (X, Y, Z):

Здесь подобное объединение обнаруживает, что неприводимое представление имеет вид:

Г_xyz=В₁

12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. определении прав пользователя на операции с файлами и каталогами
2. I.4. Элементы и уровни киноязыка
3. II этап, средняя — старшая группы
4. II. Исторические корни современного гражданского права. Национальные и универсальные элементы в нем
5. IX. Электродные потенциалы. Гальванические элементы.
6. XXVI. НЕОБХОДИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ОБЪЯСНЯЮЩИЕ ВСЁ.
7. Активные и пассивные операции ЦБ.
8. Амфифильные полимеры N-винилпирролидона, содержащие дополнительные функциональные группы
9. АРИСТОКРАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ В СОВРЕМЕННОЙ КОНСТИТУЦИИ БУРЖУАЗНОГО ПРАВОВОГО ГОСУДАРСТВА
10. Базовые операции в электронной таблице
11. Базовые элементы формы (БЭФы)