Определение параметров нелинейности и выбор оптимального режима усилительного каскада аппаратуры ВЧ связи по ЛЭП

Методика оценки нелинейных свойств ВЧ усилителя
на основе определения параметров нелинейности
и выбор его оптимального режима

Нелинейные свойства усилителей, зависящие от таких опасных в них нелинейных явлений, как интермодуляция и блокирование, в технической литературе определяются и анализируются различным образом. Классический анализ опирается в основном на методику, основанную на разложении в ряд Тейлора функции, выражающей зависимость выходного тока от напряжения на управляющем электроде усилительного прибора при сопротивлении нагрузки R_н = 0. При этом оказываются неучтенными нелинейность выходных сопротивлений, а также упомянутое сопротивление нагрузки. Последнее обстоятельство приводит к недопустимо большим погрешностям в количественной оценке продуктов нелинейного преобразования (ПНП), а следовательно, делает указанный метод практически непригодным для анализа нелинейных явлений, в особенности, при больших реальных уровнях помех на входе усилителя.

В [11, 13] показано, что при таких условиях наиболее целесообразно использовать методику анализа, основанную на разложении мгновенного коэффициента передачи (МКП) k(t) в ряд Тейлора, коэффициенты которого представляются в виде рядов Фурье по частоте помехи. Затем, выделив фильтром спектральные составляющие выходного сигнала и воспользовавшись аппроксимацией реальной характеристики передачи усилительного прибора, находят постоянную составляющую и амплитуды соответствующих гармоник спектра, а следовательно, коэффициенты и параметры нелинейности.

Так, под воздействием аддитивно действующих на входе усилителя на ПТ мгновенных значений гармонических напряжений полезного сигнала u_с и помехи u_п при выбранном постоянном напряжении смещения между затвором и истоком U_см = U_зи мгновенный коэффициент передачи усилителя запишется следующим образом:

, (1)

где ; ; – текущая фаза соответствующего напряжения; U_с и U_п – амплитуды напряжений; U_с < U_п; U_с < < U_зи.

В результате разложения функции и ее первой и второй производных в ряд Фурье по частоте помехи и последующих тригонометрических преобразований получим выражения для упомянутых амплитуд напряжений соответствующих гармоник спектра, коэффициентов и параметров нелинейности:

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

где – амплитуда полезного выходного сигнала;

(7)

– постоянная составляющая коэффициента усиления, определяемая как нулевая гармоника ряда Фурье;

– амплитуда комбинационной составляющей третьего порядка, изменяющаяся с частотой или ; – коэффициент интермодуляционных помех 3-го порядка;

– (8)

– вторая гармоника ряда Фурье, ответственная за образование комбинационных помех 3-го порядка;

– (9)

– полином, аппроксимирующий экспериментальную функцию, выражающую коэффициент усиления в рабочей точке усилителя .

; ; – (10)

– вторые производные по напряжению от , , соответственно;

, , и т.д. – коэффициенты усиления, их крутизна, кривизна и т.д. в рабочей точке, которые находятся как коэффициенты аппроксимирующего полинома;

– обобщенный параметр нелинейности третьего порядка, который в малосигнальном режиме (U_с < < U_п) не зависит от входного сигнала, а определяется значением коэффициента усиления и его производными в рабочей
точке

. (11)

Следовательно, параметр нелинейности , зависящий от второй производной малосигнального коэффициента усиления в любой рабочей точке , является определяющим в оценке нелинейных свойств усилителя по интермодуляции 3-го порядка. Чем более стремится к нулю (т.е. ), тем меньше коэффициент интермодуляции 3-го порядка , иначе тем более линейным является усилительный прибор (транзистор).

Коэффициент в формуле (6), определяющий степень блокирования малого сигнала помехой большого уровня, как следует из формулы (7), в соответствующей рабочей точке зависит только от уровня помехи.

Использование аппроксимации реальной характеристики
передачи усилителя по Ю. Б. Кобзареву для 11 равноотстоящих точек
напряжений смещения

Таблица для вычисления коэффициентов полинома

В [23] отмечается, что в случае, когда характеристика нелинейного элемента аппроксимируется выражением, содержащим более трех точек, значение функции целесообразно выбирать при равноотстоящих значениях аргумента. Кроме того, если число заданных точек превышает число подлежащих определению коэффициентов аппроксимации, рекомендуется использовать «метод наименьших квадратов», при котором среднеквадратичная ошибка минимальна, т.е. при этом способе сумма квадратов отклонений полинома данной степени от кривой является наименьшей.

В соответствии с этим, несмотря на существующие компьютерные программы, целесообразно привести краткую рецептуру пользования этим методом, что позволит студенту осмыслить математическую суть метода и с помощью простых микрокалькуляторов выполнить любую аппроксимацию за оптимально короткое время.

В [24] показано, что вычислить коэффициенты полинома по способу наименьших квадратов наиболее рационально с помощью введенных Ю.Б. Кобзаревым ортогональных полиномов для заданного числа N – равноотстоящих
точек.

Обозначим через полином степени l. Тогда система полиномов будет ортогональной для данного числа точек, если при любых выполняется равенство

. (12)

Воспользовавшись известными ортогональными многочленами Чебышева по методу Ю.Б. Кобзарева в [24] найдены пять, а в [13] все семь полиномов, образующих такую систему на отрезке для N=11 равноотстоящих точек [37, 39, 40], т.е. при ; –0, 8; … 0 … 0, 8; 1, 0 имеем:

(13)

Система (13) ортогональных полиномов обладает тем замечательным свойством, что разложение по ним любой заданной функции дает наилучшее приближение в смысле наименьших квадратов. Поэтому вместо, например, выражения (14) коэффициента передачи по степеням напряжения с неизвестными коэффициентами, можно записать его, представив в виде суммы (15) рассмотренных выше полиномов:

, (14)

. (15)

Здесь Р – степень полинома; р – целое число, равное номеру слагаемого; – коэффициент, имеющий размерность , который можно назвать крутизной порядка р, т.е. есть крутизна нулевого порядка, – первого порядка и т.д.

Входящая сюда величина х пропорциональна напряжению , отсчитываемому от середины участка аппроксимации , т.е. при изменении в пределах , х меняется от –1 до 1, поэтому

. (16)

Для определения коэффициента в (15) умножим обе части равенства на полином и просуммируем по всем точкам . Тогда, используя свойство ортогональности (12), находим

. (17)

Отсюда

, (18)

где – нормированный полином

. (19)

Так как нулевому узлу соответствует левый конец участка аппроксимации, т.е. , то сумму (18) удобно разбить на суммы, где х < 0 и х > 0, так как четные полиномы (р = 0, 2, 4, 6) на этих участках ничем не отличаются, а нечетные (р=1, 3, 5, 7) отличаются лишь знаками. В связи с этим целесообразно ввести нечетную и четную компоненты коэффициента усиления К:

(20)

где – шаг изменения х (в нашем случае при N=11 );

– величина коэффициента усиления в точках .

Теперь вместо сумм по положительным и отрицательным значениям можно взять суммы только по положительным с использованием четной и нечетной составляющей коэффициента усиления. Тогда

(21)

Сведя в табл. 1 значения коэффициентов нормированных полиномов и используя их, легко найти коэффициенты по формулам (21), далее в (15) сгруппировать члены по степеням х и перейти к представлению коэффициента усиления в виде полинома по степеням . Коэффициенты этого полинома будут подобраны наилучшим в смысле наименьших квадратов способом, при котором экспериментальная кривая будет практически сливаться с теоретической кривой .

Вычисление коэффициентов полинома, используемого при гармоническом анализе для определения коэффициентов и параметров нелинейности и, в конечном итоге, для выбора оптимального режима усилительного прибора, рассмотрим на конкретном примере задания.

Таблица 1

	0, 000000	-0, 291375	0, 000000	1, 092658	0, 000000	-5, 1062086	0, 000000
0, 2	0, 0454545	-0, 262238	-0, 339938	0, 728439	2, 003205	-1, 5318624	-12, 765522
0, 4	0, 0909091	-0, 174825	-0, 558470	-0, 182110	2, 003205	4, 5955891	-0, 9118072
0, 6	0, 1363636	-0, 029138	-0, 534189	-1, 092658	-0, 500801	3, 7020048	15, 045106
0, 8	0, 1818182	0, 174825	-0, 145688	-1, 092658	-3, 004808	-6, 1274442	-10, 485929
1, 0	0, 2272727	0, 437063	0, 728439	1, 092658	1, 502404	1, 9148344	2, 2795937

Типовое задание «Определение параметров нелинейности
усилителя аппаратуры ВЧ связи по ЛЭП на основе
аппроксимации его коэффициента усиления
и выбор оптимального режима»

Задание на курсовую работу

1. Аппроксимировать полиномом седьмой степени экспериментальную зависимость коэффициента усиления К_э = f (U_см) заданного усилительного каскада на полевом транзисторе (ПТ) типа 2П902А (рис. 1).

2. На основе вычисленных коэффициентов аппроксимации и гармонического анализа с использованием метода МКП по формулам (4, 5 и 9–11) определить параметры нелинейности третьего порядка и выбрать оптимальный режим работы каскада.

 

Рис. 1. Исследуемый усилительный каскад на ПТ 2П902А

Аппроксимация [Вариант № 2- ПТ 2П902А (К)]

Аппроксимацию проводим в следующей последовательности.

1. Задаем 11 экспериментальных значений коэффициента усиления в равноотстоящих точках напряжения смещения «затвор-исток» в интервале В. Эти данные, а также вспомогательные значения нечетных 2К_н и четных 2К_ч компонент коэффициента усиления в симметричных точках смещения U_зи сводим в табл. 2.

 

Таблица 2

х	-1, 0	-0, 8	-0, 6	-0, 4	-0, 2		0, 2	0, 4	0, 6	0, 8	1, 0
Uзи		0, 4	-0, 8	1, 2	1, 6	2, 0	2, 4	2, 8	3, 2	3, 6	4, 0
Кэ		1, 6	6, 6	10, 9	13, 9		17, 65	18, 9	19, 6	20, 05	20, 3
2Кн	-	-	-	-	-		3, 75	8, 0		18, 45	20, 3
2Кч	-	-	-	-	-		31, 55	29, 8	26, 2	21, 65	20, 3
В0	0, 000574	1, 5964132	6, 605958	10, 901099	13, 88494	16, 013656	17, 65900	18, 873555	19, 6215	20, 0416	20, 3008

2. Находим коэффициенты разложения ортогональных полиномов по формулам (21), преобразовав их при N = 11 в выражения (22)

.

,

,

(22)

Заметим, что при определении коэффициента D₀ используется вторая формула (21), а из табл. 1 следует, что при N = 11 нулевой полином для любого х имеет величину , поэтому в соответствии с формулой (18) можно найти сумму всех значений (табл. 2) и поделить на 11, т. е.

.

Для определения используем первую формулу (22). Входящие в нее нечетные компоненты берем из табл. 2 (это разностные значения в симметричных точках), а значения полинома – из табл. 1

Для определения используем вторую формулу (22), в которой четные компоненты являются суммарными значениями в симметричных точках аргумента х, кроме точки х = 0, в которой значение .

Аналогично находим остальные коэффициенты:

; ; ;

; ; ;

; .

Полином по степеням х находится по формуле (15), с преобразованием ее в (23), в которой аппроксимирующий полином в отличие от аппроксимируемой функции обозначен как :

, (23)

где – ортогональные полиномы.

Группируя коэффициенты по степеням х и собирая подобные члены, приходим к удобным выражениям для вычисления членов А₀, А₁х, А₂х², А₃х³ и т.д. этого полинома:

;

;

;

;

;

;

;

.

В итоге полином по степеням х:

; (24)

.

Для перевода этого полинома в истинный полином по степеням необходимо уточнить, удовлетворяют ли значения условиям трех нижеследующих формул:

– при совпадении значений и х

= 0 и х = 0; (25)

– при несовпадении значений и х

при = 0 … , (26)

при (27)

Примечание: чтобы не усложнять расчет при заданном интервале смещений U_см = (–U₁…– U_n) формула (27), рекомендуется перевести этот интервал смещений в интервал, заданный в формуле (26), и дальнейший расчет производить на основе полученного «нормированного» полинома относительно значений U_см = U_зи.н = U_зи + U₁. Полученный интервал будет соответствовать формуле (26), т.е. U_зи.н = 0 … U_n.

Рассматриваемый полином удовлетворяет требованиям формулы (26). Подставляем в (24) значение

,

получаем истинный теоретический полином В_о по степеням :

(28)

По найденному уравнению вычисляем и заносим в нижнюю графу табл. 2 значения В₀ в контрольных точках напряжения смещения .

Из сопоставления экспериментальных значений и теоретических В₀ (рис. 2) видим, что совпадение очень хорошее. Абсолютная ошибка находится в пределах сотых долей, что характеризует пригодность результатов аппроксимации для дальнейшего гармонического анализа различных нелинейных явлений. В заключение отметим, что с помощью простых современных микрокалькуляторов без привлечения компьютерных программ такую аппроксимацию можно выполнить за 10–15 минут.

Рис. 2. Вид интермодулирующих U1 = U2 и интермодуляционных Uk3
спектральных составляющих на экране анализатора спектра

Определение показателей нелинейности
и выбор оптимального режима

Полученные коэффициенты аппроксимации используем для определения параметров нелинейности и коэффициентов интермодуляционных искажений в широком диапазоне смещений , что позволит выбрать по этому виду нелинейности оптимальный режим, при котором стремится к нулю, а коэффициент усиления В₀ максимально возможный . Заметим, что экспериментальные определения коэффициентов и параметров нелинейности на основе ранее описанного двухсигнального метода ( см. стендовую лабораторную работу № 4 ) связаны с громоздкими измерениями. При этом определение оптимального режима становится вовсе проблематичным [18, 22].

Для определения найдем первую и вторую производные полинома , значение которых целесообразно занести в табл. 3, совмещая их с данными самого полинома в тех же контрольных точках.

(29)

Тогда с учетом коэффициентов найденного полинома (28) имеем

(30)

Далее по формуле (11) вычисляем , который заносим в табл. 3 и по ее данным строим совмещенные зависимости и в функции от напряжения , и определяем оптимальный режим, при котором параметр имеет минимальное значение при максимально возможном коэффициенте усиления (рис. 2).

Таблица 3

, В		0, 4	0, 8	1, 2	1, 6	2, 0	2, 4	2, 8	3, 2	3, 6	4, 0
	0, 000574	1, 5964132	6, 605958	10, 901099	13, 88494	16, 013656	17, 65900	18, 873555	19, 6215	20, 0416	20, 3008
	–	18, 106298	7, 897901	–8, 6577368	–5, 2373952	–2, 822148	–2, 646064	–3, 033736	–2, 12276	–0, 5938	–4, 3992
, 1/В2	–	5, 67	0, 6	–0, 4	–0, 19	–0, 088	–0, 075	–0, 08	–0, 054	–0, 015	–0, 108

 

По данным табл. 3 и графикам (рис. 3) легко определить, что оптимальный режим составляет ≈ 3, 6 В, при этом имеет место максимальное ослабление комбинационных составляющих 3-го порядка с амплитудами и частотами и .

Коэффициент интермодуляционных составляющих , соответствующий этому ослаблению, согласно формуле (4) при амплитуде бигармонического интермодулирующего сигнала на выходе В равен:

= 0, 25· ·0, 14² = 0, 0000735

или в дБ: (дБ) = 20lq k₃ = 20lq0, 0000735 ≈ 83 дБ (рис. 3). (31)

При этом амплитуды бигармонической комбинационной (интермодуляционной) составляющей с упомянутыми частотами и
равны

= 0, 0000735·0, 14·10 ≈ 10 мкВ.

 

Рис. 3. Экспериментальная (пунктиром), теоретическая кривые

(аппроксимирующий полином) и полученная зависимость

в функции от напряжения затвора усилителя на ПТ 2П902А

 

Безупречная точность приведенного расчета подтверждается на основе известного двухсигнального метода измерения соответствующих коэффициентов нелинейности. Метод состоит в том, что на вход усилителя подают два равных сигнала и с частотами и , находящимися в полосе пропускания усилителя (рис. 4).

 

Рис. 4. Схема для измерения коэффициентов нелинейности k₂ и k₃

На выходе усилителя образуются ПНП третьего порядка с частотами и и амплитудами Uk3, измеряемыми анализатором спектра.

Ослабление ПНП третьего порядка (амплитуда ) относительно бигармонического сигнала , характеризуемое коэффициентом интермодуляции третьего порядка , измеряется непосредственно анализатором спектра в логарифмическом масштабе (в дБ) – формула (31).

Выводы

1. В выполненной курсовой работе на основе аппроксимации заданной экспериментальной зависимости коэффициента усиления в функции от напряжения смещения «затвор-исток» К_э = f (U_зи) усилительного каскада на полевом транзисторе 2П902А и гармонического анализа с использованием метода «мгновенного коэффициента передачи» (МКП) определены параметры нелинейности третьего порядка Н3 во всем интервале смещений Uзи и выбран оптимальный режим усилителя, при котором Н3 стремится к нулю при максимально возможном коэффициенте усиления К_э = В_о.

2. Выбранный оптимальный режим соответствует U_зи ≈ 3, 6 В, параметр нелинейности Н₃ = (–0, 015) 1/ В².

В выбранном оптимальном режиме коэффициент интермодуляционных искажений третьего порядка составил k₃ -83 дБ при уровне амплитуд бигар-монического сигнала на входе усилителя U₁ = U₂ = U_с = 0, 14 В (рис. 2 и 3).

При этом уровень амплитуды комбинационной (интермодуляционной) составляющей третьего порядка составил U_k3 ≈ 10 мкВ.

Таблица вариантов заданий

	Транзистор	Uзи, В		0, 4	0, 8	1, 2	1, 6	2, 0	2, 4	2, 8	3, 2	3, 6	4, 0
	2П902А(0)	Кэ		0, 01	0, 5	3, 1	5, 65	8, 2	10, 1	11, 7	13, 15	14, 3	15, 5
	2П902А(1)	Кэ		6, 62	11, 5		16, 8		18, 85	19, 55	20, 0	20, 1	20, 2
	2П902А(3)	Кэ		4, 4	9, 8		15, 7	17, 75	19, 3	20, 0	20, 55	20, 8	21, 15
	2П902А(1S)	Кэ		5, 4	10, 8	15, 5	18, 35	20, 7	21, 8	22, 2	22, 55	22, 85	23, 0
	2П902А(4)	Кэ		2, 18	8, 95	13, 1		17, 8	19, 2	20, 1	20, 8	21, 0	21, 1
	2П902А(4S)	Кэ		1, 22	3, 45	12, 7	16, 45	19, 5	21, 5	22, 5	22, 6	22, 62	22, 61
	Транзистор	Uзи, В	-1, 5	-1, 2	-0, 9	-0, 6	-0, 3		0, 3	0, 6	0, 9	1, 2	1, 5
	2П905А(14)	Кэ		0, 4	1, 28	3, 65	8, 4	14, 5	19, 2	21, 15	22, 9	22, 95	22, 5
	2П905А(14S)	Кэ		0, 08	0, 5	1, 85	7, 5	15, 33	21, 33	25, 28	25, 0	24, 0	22, 8
	2П905А(26)	Кэ	2, 0	3, 58	5, 82	9, 35	14, 8	21, 0	25, 4	28, 15	29, 5	29, 49	29, 1
	2П905А(26S)	Кэ	0, 6	1, 4	2, 8	5, 4	10, 0	16, 0	20, 8	23, 7	25, 0	25, 5	25, 6

Окончание табл.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: