Проведение эксперимента по снятию кривых разгона

На объекте устанавливается и стабилизируется выбранный режим работы. Проверяется правильность подключения и показаний измерительной и регистрирующей аппаратуры, предназначенной для записи координаты x_вых(t). Убедившись в наличии установившегося режима, вводят испытательное возмущение x_вх(t) = + A. Опыт считается оконченным, если, начиная с некоторого значения T_y, выходная величина остается практически неизменной. После стабилизации x_вых(t) наносится новое возмущение, x_вх(t) = – A, и снова записывается переходная функция и т. д. (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Порядок проведения эксперимента по снятию кривых разгона

 

Такой порядок проведения эксперимента позволяет убедиться в выполнении принципа суперпозиции, а следовательно, и линейности динамики объекта.

Для проверки стационарности динамических свойств объекта эксперименты по снятию кривых разгона следует повторить еще несколько раз через определенные большие промежутки времени (по сравнению с величиной T_y).

2.2.5. Обработка результатов эксперимента
по снятию кривых разгона

Записывают значения ординат экспериментальной кривой разгона в отклонениях от установившегося значения. Для этого из всех ординат x_{вых, j} вычитают начальную ординату Dx_{вых, j} = x_{вых, j} – x_вых(0).

Переходные функции h_j(t), не искаженные помехами, строятся в одном масштабе на графике

,

где h_j(t) – единичная переходная функция.

Если разброс между функциями h_j(t) незначителен и соизмерим с точностью регистрации x_вых(t), например не превышает 2÷ 3 %, то для последующей обработки выбирается одна из переходных функций. В противном случае производится усреднение h_j(t) по множеству номеров j, т. е. находится усредненная единичная переходная функция h(t)

.

Далее из h(t) определяются величины коэффициента усиления K_об и времени чистого запаздывания t₀. В данном случае K_об = h(T_y).

Величина t₀ определяется как отрезок времени, внутри которого выполняется неравенство

0 £ h(t) < D,

где величина D зависит от погрешности аппаратуры и обычно принимается

D £ (0, 01 ¸ 0, 02) × h(T_y).

Если переходная функция искажена помехой, то необходимо применить сглаживание.

2.2.6. Определение динамических характеристик
по экспериментальным переходным функциям

Известно, что решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями существует и единственно. Однако утверждать обратное, т. е. всякому таблично или графически заданному решению соответствует единственное линейное дифференциальное уравнение, очевидно, нельзя, особенно, если под решением подразумевается переходная функция h(t) промышленного объекта. В этом случае всегда осуществляется приближенная аппроксимация h(t) решением дифференциального уравнения, следовательно, по одной и той же переходной функции можно получать разные динамические характеристики. Более того, сами методы аппроксимации переходной функции решением линейного дифференциального уравнения базируются на различных допущениях о структуре и используют разнообразнейший математический аппарат. Указанные обстоятельства объясняют причины появления большого числа различных способов определения коэффициентов дифференциального уравнения или передаточной функции W(р) по переходной функции объекта.

Рассмотрим несколько способов.

2.2.7. Аппроксимация переходной функции решением
дифференциального уравнения первого порядка
с запаздыванием (интерполяционный метод Орманна)

Аппроксимирующая передаточная функция будет иметь вид

, (2.38)

а решение обыкновенного дифференциального уравнения

(2.39)

будет

(2.40)

где постоянная времени Т_об и время чистого запаздывания t₀ подлежат определению из экспериментальной кривой разгона.

Интерполяционный метод определения Т_об и t₀ заключается в следующем.

На нормированной переходной функции выбирают две точки А и Б с координатами h_А, t_A, h_Б, t_Б (см. рис. 2.5). Желательно, чтобы точка А была расположена около точки перегиба, а ордината h_Б равнялась 0, 8–0, 9. Рассматривая точки А и Б как интерполяционные узлы кривой (см. рис. 2.5), определим неизвестные величины последней:

; (2.41)

. (2.42)

 

Рис. 2.5. Аппроксимация переходной функции решением обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием

2.2.8. Аппроксимация переходной функции решением
дифференциального уравнения с кратными
действительными корнями

Переходная функция промышленного объекта аппроксимируется решением линейного дифференциального уравнения n-го порядка с нулевыми начальными условиями (время чистого запаздывания выделяют заранее) (рис. 2.5):

. (2.43)

Аппроксимирующая передаточная функция будет иметь вид

. (2.44)

Требуется определить всего две неизвестные Т_об и n.

Известно, что площадь над кривой может быть найдена как

, (2.45)

где Т_g; g = 1, 2, 3, … n – постоянные некоторого фактического дифференциального уравнения объекта. Если предположить, что все Т_g = Т_об, то

. (2.46)

Задаваясь значением n, определяем Т_об по выражению (2.46).

Делаем проверку качества аппроксимации. При неудовлетворительной аппроксимации следует изменить величину n. Обычно удовлетворительное качество аппроксимации достигается при n £ 4.

Качество аппроксимации считается удовлетворительным, если выполняется неравенство

,

где g – 1, 2, …, g на всем интервале существования переходной характеристики;

h_p(t_g) и h_э(t_g) – расчетные и экспериментальные значения ординат переходной функции при t = t_g.

Значение интеграла в выражении (2.45) удобно определять по формуле трапеций (рис. 2.6)

, (2.47)

где y_i = h(T_y) – h(t_i), i = 0, 1, 2, …, N.

2.2.9. Определение коэффициентов дифференциального
уравнения объекта по «методу площадей»

В основе метода, предложенного М.П. Симою [12], лежит предположение, что исследуемый объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

(2.48)

где а₁, а₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_m – постоянные коэффициенты;

s – нормированное отклонение выходной величины;

l – единичное ступенчатое воздействие.

Рис. 2.6. К определению интеграла

 

Передаточная функция объекта, описываемого уравнением (2.48), может быть представлена в виде:

. (2.49)

Задача состоит в том, чтобы определить неизвестные коэффициенты а₁, а₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_m.

Однако нахождение коэффициентов полинома числителя передаточной функции связано с большими погрешностями, так как присутствие дифференцирующих звеньев усиливает действие помех.

Поэтому наиболее целесообразна аппроксимация передаточной функции при h(0) = 0 в виде

. (2.50)

Учитывая, что погрешность вычисления коэффициентов а_i полинома возрастает с увеличением i, в предлагаемом алгоритме порядок полинома ограничен, n £ 2. Кроме того, предлагаемый алгоритм предназначен для идентификации объектов без интегрирующих звеньев, т. е. объектов, обладающих свойством самовыравнивания.

Согласно [12] коэффициенты a_i передаточной функции (2.50) находятся по формуле

 

, (2.51)

где S_i – площадь i-го порядка под кривой (1 – G).

Площадь S₁ определяется следующим образом:

. (2.52)

После этого изменяется масштаб времени

. (2.53)

Тогда площадь S₂ находится по формуле

. (2.54)

Алгоритм содержит головную программу и подпрограмму для вычисления интегралов от функций, заданных в виде таблиц.

Подготовка исходных данных к расчету заключается в следующем:

1. Отбрасывается «чистое» запаздывание. Экспериментальная кривая разгона приводится к единичному возмущению с одновременным переходом к отклонениям от исходного состояния

;

.

Число экспериментальных точек М должно быть нечетным. Разбивка интервала наблюдения (0 – Т_у) – равномерная с шагом Н.

2. По статической характеристике определяется коэффициент передачи объекта К.

Порядок вычислений, реализуемый алгоритмом идентификации, следующий:

1. Вводятся исходные данные:

М – число экспериментальных точек;

N – порядок аппроксимирующего уравнения;

z_i – массив экспериментальных значений кривой разгона;

К – коэффициент передачи объекта;

Н – шаг интегрирования.

2. Для контроля исходные данные вводятся в том же порядке.

3. Экспериментальные значения кривой разгона переводятся к безразмерному виду

,

определяется значение подынтегральной функции

и присваиваются вспомогательному массиву y_i = x_i.

4. По формуле Симпсона выполняется расчет интеграла S₁

.

5. Значение суммы S₁ присваивается первому коэффициенту a₁ = S₁.

6. Если N = 1, то выполняется расчет ординат переходной функции

в заданном интервале t = 0¸ T_y.

Полученные значения выводятся в виде массива y_i.

7. Если N = 2, то рассчитывается новое время и подынтегральная функция

.

8. Определяется шаг интегрирования .

9. По формуле Симпсона рассчитывается S₂.

10. Находится коэффициент .

11. Рассчитывается дискриминант алгебраического уравнения

,

.

12. По дискриминанту определяется вид корней и выполняется расчет переходной функции.

Если D < 0, то корни комплексные

,

,

и переходная функция рассчитывается по формуле

.

Если D = 0, то корни вещественные кратные

и переходная функция рассчитывается по формуле

.

Если D > 0, то корни вещественные разные

,

.

Используя теорему разложения Хевисайда, получим уравнение переходной функции

.

Точность аппроксимации экспериментальной кривой разгона решением дифференциального уравнения оценивается по величине остаточной дисперсии

и по среднеквадратичному отклонению .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: