Уравнение (4.6) имеет кратные корни

Уравнение (4.6) имеет кратные корни , когда и, следовательно, . Передаточная функция определяется выражением:

, (4.13)

т. е. звено представляет собой последовательное соединение двух апериодических звеньев с одинаковыми временными функциями.

В случае, когда уравнение (4.6) имеет кратные корни, временная характеристика определяется уравнением

. (4.14)

Графическая интерпретация уравнения (4.14) представлена на рис. 4.9, кривая 2.

 

Уравнение (4.6) имеет два комплексных сопряженных корня

 

Рассматриваемый случай возможен, когда подкоренное выражение в уравнении (4.6) , т. е. . Корни уравнения (4.6) определяются выражением

(4.15)

или в общем случае:

. (4.16)

Так как полюсы разные, то можно воспользоваться уравнением (4.11) для записи выражения временной функции

.

После подстановки выражения (4.16) в (4.11) получим

.

Преобразуя данное выражение, получим выражение для временной характеристики:

, (4.17)

где , .

Графическая интерпретация уравнения (4.17) представлена на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Временная характеристика для случая, когда

 

С помощью значений амплитуд колебаний можно оценить величину степени затухания , которая в общем случае изменяется в интервале 0¸ 1. Амплитуда А₂ может быть определена из выражения , где . Используя выражения для А₂ и Т, выражение для степени затухания преобразуется к виду , где – корневой показатель колебательности или степень колебательности. Учитывая уравнения (4.15) и (4.16), получим

. (4.18)

 

Уравнение (4.6) имеет два чисто мнимых корня

Рассматриваемый случай возможен, когда Т₁ = 0.

Выражение для передаточной функции звена будет иметь вид

. (4.19)

Применяя к уравнению (4.19) операцию обратного преобразования Лапласа, запишем выражение для временной характеристики:

. (4.20)

Из уравнения (4.20) следует, что при существует два чисто мнимых корня: .

С помощью теоремы разложения уравнение (4.20) преобразуется к виду

. (4.21)

В данном случае имеем косинусоиду с постоянной амплитудой (см. рис. 4.12). Такое колебательное звено получило название консервативного.

 

 

Рис. 4.12. Временная характеристика для случая, когда Т₁ = 0

 

Частотные характеристики звеньев второго порядка

Формально частотную характеристику можно получить из передаточной функции (4.4) путем подстановки p = iw:

(4.22)

Из (4.22) можно получить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики:

;

.

В зависимости от соотношения Т₁ и Т₂ амплитудно-частотная характеристика имеет различный вид:

Рис. 4.13. Амплитудно-частотные характеристики звеньев второго порядка

1. Для случаев, когда , амплитудно-частотная характеристика монотонно убывающая (см. рис. 4.13, а).

 

2. Для случая, когда , амплитудно-частотная характеристика имеет максимум при некоторой резонансной частоте (рис. 4.13, б).

Колебательные свойства звена 2-го порядка можно оценить по величине А_max: чем больше A_max, тем колебательность звена больше. Для оценки колебательности существует частотный показатель колебательности

. (4.23)

Сравнивая (4.18) и (4.23), получим .

3. Для случая, когда Т₁ = 0 амплитудно-частотная характеристика определяется выражением (см. рис. 4.13, в).

 

Описание программы расчета

Для исследования звена второго порядка используется программа «Zweno», составленная на языке Borland Pascal 7.0 в среде Turbo Vision. Ввод исходных данных производится в разделе меню «Ввод данных» ® «Ввод новых данных». Исходные данные (коэффициент усиления К и постоянные времени Т₁ и Т₂) выдаются студенту перед выполнением работы. После ввода исходных данных проводится расчет переходных процессов для всех случаев, рассмотренных в работе. При этом значения постоянных времени автоматически подбираются для всех вариантов, исключая введенный студентом. Подобранные значения постоянных времени выводятся на экран при просмотре результатов расчета. Печать графиков переходных процессов может быть выполнена либо непосредственно при просмотре результатов расчета (Alt – P), либо из основного меню программы. Порядок выполнения работы

Работа выполняется в следующем порядке:

1. Ознакомиться с методикой исследования звена второго порядка.

2. Провести расчеты переходных процессов при различных соотношениях постоянных времени Т₁ и Т₂.

3. Сделать анализ влияния постоянных времени Т₁ и Т₂ на вид переходного процесса.

4. Составить отчет о проделанной работе.

Содержание отчета

Отчет по работе должен содержать:

1. Цель работы.

2. Исходные данные, а также значения постоянных времени, подобранные программой.

3. Методику исследования звена второго порядка.

4. Порядок выполнения работы.

5. Результаты работы.

6. Выводы по работе.

 

Лабораторная работа № 9.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: