Определение случайной величины

Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ -алгебры на ^[4].

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом^[4]. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел a и bмножество событий , таких что , принадлежит .

Классификация

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

§ Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

§ В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

§ Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

Методы описания

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности ихарактеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньшевещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием вероятностей p_k = P(ξ = x_k) всех возможных значений этой случайной величины.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

§ Измеримая функция называется n -мерным случайным вектором (относительно борелевской σ -алгебры на ).

§ Измеримая функция называется n -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской σ -алгебры).

§ Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

Вопрос 21.Вероятность случайного события.   Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.   Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Очевидно, относительная частота и вероятность могут не совпадать.   Замечание. Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.   Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.   Вероятность. Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число , для которого выполняется условие: , то считается, что заданы вероятности элементарных событий . Вероятность события, как счётного подмножества пространства элементарных событий, определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как, иначе сумма будет не определена.

 

Пусть, например, в урне находится 10 шаров, из ко­торых 3 красных и 7 синих. Производится опыт, заклю­чающийся в извлечении наугад одного из шаров из урны. Рассмотрим, какие исходы возможны при данном опыте. Для этой цели пронумеруем мысленно красные шары номерами от 1 до 3 и синие—от 1 до 7. В резуль­тате опыта может иметь место один из следующих исхо­дов:

 

 

Все эти исходы являются, очевидно, одинаково возможными, так как нет ни каких оснований утверж­дать, что какой-либо из шаров имеет больше данных быть извле­ченным по сравнению с другими.

Кроме того, все исходы являются событиями несов­местимыми, так как появление одного какого-либо шара в данном опыте исключает появление других. На­конец, какой-нибудь из шаров, неважно какого цвета, по условиям опыта обязательно будет вынут. Иными словами, совокупность всех исходов составляет полную группу событий.

Значение вероятности иногда выражают в процентах.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: