Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

По аналогии с предыдущим можно получить и последующие уточнения метода Эйлера. Но поскольку геометрическая интерпретация в этих случаях затруднительна, а вывод занимает довольно много места, то просто приведем окончательную формулу метода четвертого порядка точности. Для того, чтобы ее можно было сравнивать с предыдущими методами 2-го порядка, перепишем последние, используя следующие обозначения: (м-д Эйлера 1-го порядка) (1-й м-д Эйлера 2-го порядка) (2-й м-д Эйлера 2-го порядка)

Теперь можно легко поверить (опуская все выкладки), что метод 4-го порядка имеет вид

Все перечисленные методы образуют группу так называемых методов Рунге-Кутта (различного порядка точности). Можно построить методы Рунге-Кутта и более высокого порядка точности, но они используются редко.

Многоточечные методы (методы Адамса)

 

Все предыдущие методы определяют значение в последующей точке по значению в одной предыдущей точке . По этой причине их называют одношаговыми методами. При этом, если решение уже получено в нескольких предыдущих точка, то полученная в этих точках информация о решении не учитывается. Более того, основные затраты методов связаны с вычислением функции ( — правой части дифференциального уравнения) в новых промежуточных точках, в то время как в предыдущих точках такие вычисления были уже выполнены, и использование этих значений может уменьшить время вычислений.

Этот недостаток исправляется в так называемых многошаговых методах Адамса.

Чтобы получить представление об этих методах, запишем метод Адамса с двумя предыдущими точками (рисунок 7).

Построим его по аналогии с уточнением (б) метода Эйлера, но теперь возьмем в качестве исходной точку ( ), а среднее значение производной будем вычислять в точке ( ).

В итоге получим

(16)

 

 

Рисунок 7. Простейший многошаговый метод Адамса.

 

Уточнения одношаговых методов Рунге-Кутта связаны с добавлением внутренних точек на отрезке . Точно также уточнения многошаговых методов связаны с добавлением нескольких предыдущих точек. Из-за громоздкости вычислений здесь эти формулы не приводятся (их можно н6айти, например, в книге Хемминга [].

Неявные методы

 

Все предыдущие методы (и методы Рунге-Кутта и методы Адамса) явно вычисляют значение в точке по информации в предыдущих точках (одной или нескольких). По этой причине их называют явными методами.

Можно, однако, построить методы, в которых искомое значение в точке входит неявным образом. Простейшим примером таких методов может служить неявный метод Эйлера.

Запишем метод Эйлера по аналогии с формулой (12), но теперь производную от искомого решения будем вычислять не в предыдущей (известной) точке, а в искомой точке ( ). В результате получим

(17)

 

Эта формула по внешнему виду мало отличается от явного метода (12), но теперь для нахождения искомой величины необходимо решить неявное уравнение, поскольку она входит и в правую, и в левую части уравнения.

Можно точно также построить (по аналогии с приведенными ранее рассуждениями) неявные методы Рунге-Кутта более высокого порядка точности. Можно также построить неявные многошаговые методы.

 

На первый взгляд, необходимость решения неявного уравнения существенно усложняет метод. Действительно теперь на каждом шаге придется выполнять дополнительные вычисления, связанные с решением неявного алгебраического уравнения типа (17). Однако, неявные методы обладают рядом существенных достоинств по сравнению с неявными методами. В частности, они гораздо более устойчивы и позволяют вести интегрирование дифференциального уравнения с гораздо большим шагом для получения той точности, чем это допускается в неявных методах. В результате в некоторых задачах (в частности, в так называемых «жестких» задачах, рассмотренных ниже) решение может быть получено только с использованием неявных методов.

Метод «прогноза–коррекции»

В реально используемых методах часто объединяют преимущества многошагового и неявного метода, получая так называемый метод прогноза–коррекции.

 

а) прогноз

По какому-либо явному многошаговому методу (например, по формуле (16), или используя более точный многошаговый метод Адамса) получают начальное приближение для . Обозначим это приближение через :

 

б) коррекция

Затем можно использовать неявный метод Эйлера (17) (или более точный неявный метод), решая неявное уравнение относительно методом простых итераций (см. лекцию о нахождении корней алгебраических нелинейных уравнений). Выполняя последовательно итерации, будем получать последовательные приближения для искомой величины :

 

На практике, достаточно выполнять три-четыре итерации, чтобы получить нужную точность.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: