Понятие о «жестких» дифференциальных уравнениях

 

Тот факт, что в строго устойчивых методах можно выбрать шаг достаточно малым и обеспечить его устойчивость, мало помогает в некоторых задач. В таких задачах шаг приходится выбирать настолько малым, что приводит к недопустимо большим затратам машинного времени. Подобные задачи называются жесткими.

Понятие жесткости можно проиллюстрировать на примере решения уравнения

Точным решением которого является

Применим (для простоты рассуждений) метод Эйлера, получим последовательность

,

где слагаемое аппроксимирует в точном решении.

Величина быстро убывает с ростом x, и решение, начиная с некоторого x, мало отличается от единицы. При этом интуитивно кажется, что для интегрирования можно взять достаточно большой шаг (поскольку решение почти не меняется). Однако из последнего соотношения видно, что при величина будет расти, свидетельствуя о неустойчивости.

Таким образом, хотя слагаемое при больших x практически не вносит никакого вклада в решение, при численном решении его приходится аппроксимировать очень точно и выбирать h очень малым.

Реально описанная ситуация встречается при решении задач химической кинетики, описывающих систему реакций, характерные времена которых сильно отличаются (такое различие может достигать нескольких порядков) [].

В целом «жесткие» системы требуют применения специальных методов (это, как правило, неявные методы).

 

В Mathcad для решения «жестких» систем предлагаются методы BDF, Radau, Stiffb, Stiffr.

 

Метод AdamsBDF сам определяет, является ли система жесткой, и в этом случае вызывается метод BDF, если же система не жесткая, то вызывается обычный метод Adams.

Все эти методы являются «неявными» методами, о которых речь шла выше.

 

Эти методы в качестве дополнительного аргумента могут использовать Якобиан от правых частей дифференциальных уравнений, что может значительно улучшить сходимость метода.

 

 

Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́ льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

где

Учитывая априорно бо́ льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод парабол (метод Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на равных частей, то имеем

где .

Интерполирование сплайнами

Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Стирлинга и др. при использовании большого числа узлов интерполяции на всем отрезке [a, b] часто приводят к плохому приближению из-за накопления погрешностей в процессе вычислений [2]. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязательно приводит к повышению точности. Для снижения погрешностей весь отрезок [a, b] разбивается на частичные отрезки и на каждом из них функцию заменяют приближенно полиномом невысокой степени. Это называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.

Один из способов интерполирования на всем отрезке [a, b] является интерполирование сплайнами.

Сплайном называется кусочно-полиномиальная функция, определенная наотрезке [a, b] и имеющая на этом отрезке некоторое количество непрерывных производных. Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции – в сходимости и устойчивости вычислительного процесса.

Рассмотрим один из наиболее распространенных в практике случаев – интерполирование функции кубическим сплайном.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция . Введем разбиение отрезка:

и обозначим , .

Сплайном, соответствующим данной функции и узлам интерполяции (6) называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) на каждом отрезке , функция является кубическим многочленом;

2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b];

3)

Третье условие называется условием интерполирования. Сплайн, определяемый условиями 1) – 3), называется интерполяционным кубическим сплайном.

Рассмотрим способ построения кубического сплайна [2].

На каждом из отрезков , будем искать сплайн-функцию в виде полинома третьей степени:

(7)

где искомые коэффициенты.

Продифференцируем (7) трижды по х :

откуда следует

Из условия интерполирования 3) получаем:

. (8)

Кроме того, будем считать .

Из условий непрерывности функции вытекает:

Отсюда с учетом (7) получим:

Обозначив и опуская промежуточные выкладки [2], окончательно получим систему уравнений для определения коэффициентов :

(9)

В силу трехдиагональности матрицы коэффициентов система (9) имеет единственное решение [2]. Найдя коэффициенты , остальные коэффициенты определим по явным формулам:

(10)

Таким образом, существует и найден единственный кубический сплайн, удовлетворяющий условиям 1) – 3).

Регрессио́ нный (линейный) анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.

Метод наименьших квадратов (расчёт коэффициентов)

На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

(M — объём выборки). Этот подход основан на том известном факте, что фигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальное значение именно для того случая, когда .

Для решения задачи регрессионного анализа методом наименьших квадратов вводится понятие функции невязки:

Условие минимума функции невязки:

Полученная система является системой линейных уравнений с неизвестными

Если представить свободные члены левой части уравнений матрицей

а коэффициенты при неизвестных в правой части матрицей

то получаем матричное уравнение: , которое легко решается методом Гаусса. Полученная матрица будет матрицей, содержащей коэффициенты уравнения линии регрессии:

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: