Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Кафедра Прикладной информатики и математики



СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

__________________________________________

Кафедра Прикладной информатики и математики

 

 

Математика и информатика

 

 

Методические рекомендации

по контрольной работе студентов специальности

031800.65 Логопедия

Киров

 

 

Печатается по решению кафедры Прикладной информатики и математики, протокол № 1 от … 2011 г.

 

Математика и информатика: Методические рекомендации по контрольной работе студентов / Сост. В.В. Архангельский. – Киров: ВСЭИ, 2011. – 44 с.

 

 

Методические рекомендации разработаны в соответствии с учебной программой дисциплины «Математика и информатика» и предназначены для студентов, обучающихся по специальности 031800.65 Логопедия.

 

 

 

© Вятский социально-экономический

Институт (ВСЭИ), 2011

 

 

Общие положения

 

ЦЕЛЬ ДИСЦИПЛИНЫ – дать студенту, как будущему специалисту в области дефектологии, представление об основах функционирования компьютерной техники и основах математических вычислений, необходимых дефектологу при анализе его практической деятельности.

Предмет дисциплины: аксиоматический метод, основные математические структуры, элементы теории множеств, основные формулы и теоремы теории вероятностей, основы математической статистики, статистическое оценивание и проверка гипотез, геометрический метод решения задач линейного программирования, системы и модели, функциональная и структурная организация компьютера, состав программного обеспечения ЭВМ, типы алгоритмов и их свойства, языки программирования и этапы решения задач на компьютере.

Цель изучения дисциплины: познакомить студентов с теоретическими и практическими вопросами построения и функционирования компьютерных систем, научить грамотному и эффективному использованию математических методов и методологий для анализа результатов практической деятельности.

Основные задачи изучения дисциплины:

· изучить общие принципы управления;

· рассмотреть типовые системы автоматического управления;

· исследовать основные характеристики систем управления;

· дать представление о структуре и функционировании систем управления;

· рассмотреть вопросы проектирования систем управления;

· рассмотреть вопросы применения цифровых устройств в системах управления;

· познакомиться с практическими аспектами создания систем управления.

 

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

· современное состояние и направления развития программного обеспечения, информационных технологий и компьютерных систем;

· основные концепции современного естествознания;

· актуальные технологии обучения, в том числе информационные и коммуникационные технологии, а также специальные аудиовизуальные технологии.

 

В результате изучения дисциплины студент должен уметь:

· оценивать программное обеспечение и перспективы его использования с учетом решаемых профессиональных задач;

· критически оценивать новую информацию в естественнонаучной области знаний и давать ей интерпретацию;

· работать с компьютером, с глобальными и локальными поисковыми системами, традиционными носителями информации.

В результате изучения дисциплины студент должен владеть:

· навыками использования персонального компьютера на уровне пользователя;

· логической культурой мышления;

· способами анализа и синтеза информации;

· способами работы с информацией в глобальных компьютерных сетях.

 

Для студентов заочной формы обучения основной в учебной деятельности является самостоятельная работа с литературными и прочими информационными источниками и овладение основами математики и информатики.

Средством контроля знаний студентов-заочников является контрольная работа, в которой студент должен показать усвоенные им теоретические знания и определенные практические навыки.

Контрольная работа предусматривает выполнение студентом четырех заданий – одного задания теоретического характера и трех практических заданий.

Структура контрольной работы:

1. Титульный лист (наименование учебной дисциплины, специальность, курс, шифр группы, фамилия, имя, отчество автора и т.д.) (Приложение 1).

2. Основная часть контрольной работы, включающая задания ко всем практическим работам. Порядок выполнения приведен ниже.

Требования к отчетам

Контрольная работа оформляется по всем правилам оформления печатных работ, то есть на листах формата А4, шрифт Times New Roman, кегль 14, страницы должны быть пронумерованы, рисунки и таблицы подписаны и т.д. Особое внимание следует обратить на соблюдение ГОСТов.

Отчеты по работам выполняются в виде документа Word.doc по заданиям в настоящей инструкции. По каждому разделу работы необходимо сделать соответствующие выводы.

Контрольная работа может быть представлена в рукописном варианте. Законченная и правильно оформленная работа предъявляется на рецензию с обязательной регистрацией в деканате гуманитарного факультета ВСЭИ.


Тематика практических работ

 

практические работы

по курсу " Математика и информатика"

 

Работа 1. Написание реферата на тему «Аксиоматический метод в математике. Применение аксиоматического метода в математике и гуманитарных науках».

Работа 2. Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Работа 3. Вероятность события. Основные формулы и теоремы теории вероятностей.

Работа 4. Геометрический метод решения задач линейного

программирования.

 

Порядок выполнения контрольной работы

 

Работа 1. Написание реферата на тему «Аксиоматический метод в математике. Применение аксиоматического метода в математике и гуманитарных науках»

 

Цель работы:

Изучение аксиоматической теории и ее приложений. Ниже приводится авторский материал по обозначенной теме. Отметим, что работа никоим образом не должна ограничиваться этим материалом, хотя бы потому, что нераскрыто направление «Применение аксиоматического метода в гуманитарных науках».

Аксиоматические системы

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором:

1) выбирается некоторое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом);

2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории;

3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других;

4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древней Греции (Элеаты, Платон, Аристотель, Евклид).

 

Рисунок 1 – Платон

[http: //ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EB%E0%F2%EE%ED]

 

Рисунок 2 – Евклид

[http: //ru.wikipedia.org/wiki/%DD%E2%EA%EB%E8%E4]

 

В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др.).

 

Рисунок 3 – Спиноза

[http: //www.eleven.co.il/article/13923]

 

Рисунок 4 – Ньютон

[http: //ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD, _%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA]

История аксиоматики

Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной); при этом основное внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом. Начиная со второй половины 19 в., в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30 гг. 20 в. – как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т. д. В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, которое может быть в них представлено, или о его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания). Это различение вызвало необходимость формулирования основных требований, предъявляемых к ним, в двух планах: синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т. д.). Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, главной из которых является доказанная Гёделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр., арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания. Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно; Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, а частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок. В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др., включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. метод выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода (см. также Формализация).

Общие указания.

Поиск информации по данному вопросу осуществлять самостоятельно, используя соответствующую литературу, Интернет и другие источники.

Объем работы не должен быть менее 10 страниц самостоятельно найденного материала.

 

Элементы теории множеств

Логические символы

Квантор – заменяет выражение " для любого", " для произвольного", " для какого бы ни было".

Квантор – заменяет выражение " существует", " найдется".

Запись (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем .

 

Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x – общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
C – множество всех комплексных чисел;
Z0 – множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись (или ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A, называется подмножеством множества A, и при этом записывают (или ) (см. рисунок 8).

 

Рисунок 7

 

 

Рисунок 8

 

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A. Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом Ø. Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами, при этом записывают A = B.

Если , то множество элементов множества , не принадлежащих A, называется дополнением множества A к множеству (см. рисунок 7).

Дополнение множества A к множеству обозначают символом СJА; или просто CA, если известно, к какому множеству берется дополнение. Таким образом,

Если , то иногда дополнение множества B к множеству A называют разностью множеств A и B и обозначают A\B (см. рисунок 9), т. е.:

Пусть A и B – подмножества множества .

Объединением множеств A и B называется множество (см. рисунок 10)

 

Рисунок 9

 

Рисунок 10

 

Аналогично, если , j = , подмножества множества , то их объединением будет множество:

Пересечением подмножеств A и B называется множество (см. рисунок 11)

 

 

Рисунок 11

 

 

Рисунок 12

 

Аналогично, символом обозначают пересечение подмножеств , множества , т. е. множество

Если каждому сопоставлено некоторое множество , то говорят, что задано семейство множеств . В этом случае множество называют объединением семейства множеств , а множество

– о пересечением этого семейства.

Симметрической разностью двух множеств A и B называется множество, определяемое объединением разностей A\B и B\A (см. рисунок 12).

Симметрическую разность обозначают символом .

Два элемента a и b называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый, какой второй, при этом .

Упорядоченную пару элементов a и b обозначают символом (a, b).

Аналогично определяется упорядоченная система из n элементов a1, a2, ..., an, которую обозначают символом (a1, a2, ..., an). Элементы a1, a2, ..., an называются координатами упорядоченной системы (a1, a2, ..., an).

Совокупность всевозможных упорядоченных пар (a, b), где , называется произведением множеств A и B и обозначается символом .

Аналогично, символом обозначают произведение множеств , т. е. совокупность всевозможных упорядоченных систем (a1, a2, ..., an), где .

 

Булева алгебра

Пусть A, B и D - произвольные подмножества множества . Тогда непосредственно из определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения:

1) (замкнутость операций объединения и пересечения);

2) (коммутативность операций объединения и пересечения);

3) (ассоциативность операций объединения и пересечения);

4) (дистрибутивность операции объединения относительно операции пересечения);

(дистрибутивность операции пересечения относительно операции объединения);

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Если для элементов множества определены объединение и пересечение , для которых выполняются отношения 1) ÷ 8), то тройка называется булевой алгеброй. Таким образом, если σ – семейство всех частей множества , то – булева алгебра.

Общие указания.

Изучить выше представленные теоретические положения и выполнить практическую часть работы.

Приведенные ниже примеры являются общими для всех вариантов.

Примеры

 

· Доказать справедливость отношений 1) ÷ 8)

· Доказать принцип двойственности: C(A U B) = CA ∩ CB, C(A ∩ B) = CA U CB.

· Доказать равенства A U (A ∩ B) = A ∩ (A U B) = A.

· Доказать равенства:

CCА = А,

СJ = Ø,

CØ =J.

· Доказать справедливость включения .

· Определить множества A U B, A ∩ B, A\B, B\A, A Δ B, если:
а) A = {x: 0 < x < 2}, B = {x: 1 ≤ x ≤ 3};
б) A = {x: x2 - 3x < 0}, B = {x: x2 - 4x + 3 ≥ 0};
в) A = {x: |x - 1| < 2}, B = {x: |x - 1| + |x - 2| < 3}.

· Имеем

= . Показать, что .

· Пусть A = {x: 2 ≤ x ≤ 4}, B = {y: 1 ≤ y ≤ 3}. Изобразить на плоскости ХOУ множество точек A × B.

 

В случае невыполнения отдельных зданий необходимо представить реальный процесс (попытку) получения результата и сформулировать вопрос (вопросы), непонимание которых привело к отрицательному результату.

Таблица вариантов

Следующее задание носит индивидуальный характер, и номер варианта

задания совпадает с порядковым номером студента в журнале группы.??????????????????????????????????????????????????

Для заданных дискретных множеств {X} и {Y} (таблица 2) представить все указанные в таблице 1 множества. Множество {J}является областью определения множеств {X} и {Y}.

Таблица 1

J={1÷ 30} X× Y CXY CYX X/Y Y/X X Y X Y

Таблица 2

№ Вар. Множество Х по вариантам

Таблица 3

№ Вар. Множество У по вариантам

Результаты выполнения данного раздела оформить в наглядном, удобном для проверки виде, например в форме таблицы.

 

Общие указания.

Изучить базовые понятия теории вероятности по материалу, предлагаемому ниже.

 

Различные определения вероятности случайного события

 

Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.

Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:

Примеры.

1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.

2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.

3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар – , поскольку всего исходов опыта – 12, а благоприятных из них – 5.

Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

· все исходы опыта должны быть равновероятными;

· опыт должен иметь конечное число исходов.

На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.

Пример. Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.

Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):

Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?

Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади) к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):

 

Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:

Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:

.

Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:

Если в некоторой области случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части этой области равна:

,

где – обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.

Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.

Задача. (О встрече)

Два студента договорились о встрече, например, в 10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.

Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 336; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.13 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь