Центральным термином этого исчислении является понятие предиката (от лат.praedicatum- cказанное о чем либо как свойстве или отношении).

Например, понятие человек означает множество существ, о каждом из которых можно сказать, что оно обладает свойством « быть человеком».

В формальной записи это сказанное можно представить так: « х есть человек или Р(х)), где Р- означает любое свойство, в данном случае, свойство «быть человеком».

Формула Р (х)- это схема обозначения одноместных предикатов как свойств предметов и свойств отношений между предметами: Р (х), Р (у), Р (z), Q (х), Q (у) и т.д.

Другой пример уже двухместных предикатов: Х любит У. Здесь сказывается, что между двумя предметами(живыми существами) есть определенное отношение, в данном случае отношении «любви».

Схема обозначения двухместных предикатов имеет вид:

Р(х, у ), Р (у, z), Р (z, t), Q (х, m), Q (v, у) и т.д.

Схема обозначения для трехместных предикатов- R(х, у, z), для n-местных предикатов- R(х, у, z, …n)и т.д. Пример R(х, у, z)- «х находится междуz и у).

Понятие предиката позволяет расширить логический аппарат логики высказываний для исследования умозаключений, рассуждения, для осуществления которых нужно знать структуру простых атрибутивных суждений, суждения с отношения и суждения существования.

Суждения существования - это суждения, в которых говорится о существовании или не существовании чего-либо ( свойства, отношения или предметов как абстрактных, так и конкретных). Указанные выше суждения играют важную роль в математических, правовых и во многих видах рассуждений человека.

Умозаключения с использованием простые атрибутивные категорические суждения исследовал Аристотель.

Его силлогистику иногда называют исчислением имен. Он использовал простые атрибутивные категорические суждения следующего вида:

Все S есть P.(А).

Некоторые S есть P.(I)

Ни один S не есть P.(E).

Некоторые S не есть P.(O).

Это есть Р. Трактуется как «А».

Это не есть Р. Трактуется как «Е».

Умозаключений у него строится следующим образом:

Все люди (М)смертны(Р). (А).

2)Сократ(S) есть человек (М).(I).

Сократ(S) смертен(Р).(I))

Термин S- обозначение предмета, о котором идет речь в высказывании или логическое подлежащее.

Термин Р – от латинского слова сказанное или свойство, которое принадлежит предмету мысли(S).

Термин М, который называется средним и выполняет функции (S и Р) в предложениях посылках доказательства, вывода.

Исчисление предикатов расширяет проблематику силлогистики Аристотеля и логики высказывания, использую новые методы формализации и трактовки законов логики высказываний силлогистики Аристотеля.

Например, здесь используются следующие логические выражения: Квантор общности«∏ » и частный квантор-«E».

Кванторы (от лат. сколько), как уже говорилось выше, являются операторами, которые указывают на количество именных констант, которые можно подставлять в индивидную переменную, находящееся в области действия квантора.

1) (Все)- квантор общности∏ (х)- указывающий, что речь идет о каждом или всех предметах мысли.

Некоторые – частный квантор-« E(х)», указывающий, что речь об одном или нескольких предметах мысли.

Пример правил вывода исчисления предикатов классической логики.

Язык исчислений, логики предикатов использует алфавит, синтаксические правила и правила вывода, законы и теоремы логики высказываний. Но есть определенные добавления в алфавите, правилах вывода, списке аксиом и правилах интерпретации.

Алфавит:

1)Индивидные переменные - (х, у, …, … ).

2) (а, в, с, д, е, к, л... ) - это именные, индивидные константы, которые можно подставлять вместо индивидных переменных).

Количество именных переменных и констант этого вида неограниченно и символическое изображение произвольно.

Переменные для обозначения одноместных и n- местных предикатов( P, Q, R, S, T, D, G, F, H, K, LO т.д.). Их количество неограниченно и символическое изображение произвольно.

Проводится различие между атомарными и молекулярными формулами функций высказываний.

Атомарные - это те, которые правильно построены без использования кванторов и логических связок вида: «& » - конъюнкция. «V», - дизъюнкция слабая, или. «V») – дизъюнкция строгая (либо).«→ »-импликация («если, то»), «=» - эквивалентность («тогда и только тогда»), «7» - отрицание ( «не» или«неверно, что»).

Пример атомарных формул функций высказываний:

Р (х), Q(у) Q, (х, у, z, )и т.д.

Использование индивидных констант преобразует атомарными и молекулярными формулами функций высказываний в высказывания.

Пример. (Р (х)/ Р(а)): Сидоров(а) есть юрист(Р).

E(х) А(х)/ Eа(Аа): Некоторые предметы (а) обладают свойством(А).

Знак «/»- означает замену символов «х» на «а»,

И замену «а» на «Сидоров» и т.д.

Правила подстановки.

В формулах с кванторами типа E(х))(Q х, у) переменная х считается связанной или находящейся в области действия квантора.

Формула E(х)(Q х, у), читается:

«Существует такой предмет, который находится в отношении Q к предмету «у». Здесь «у» называется свободной переменной, подстановка вместо которой константной переменной преобразует формулу E(х)(Q х, у) в осмысленное высказывание (истинное или ложное).

6)Правила вывода и преобразования формул.

Вводятся четыре правила для введения и исключения в доказательстве кванторов.

Правила введения кванторов:

С→ Q(х) Правило введения квантора общности. ∏ (х)

С → ∏ (х) Q( х)

Читается так: Если каждый предмет множества «С» обладает свойством- Q, то можно утверждать, что каждый предмет этого множества обладает свойством- Q.

Здесь и далее черта «----------» означает «следует».

Q (х) → С Правило введения квантора существования. E(х)

E(х)Q (х) → С.

Правила исключения кванторов:

С → ∏ (х)Q( х)

С→ Q (х).

E(х)Q (х) → С

Q (х) → С.

Правила перестановки кванторов:

Например. E(х)E(у)Q (х, у)= E(у)E(х)Q(у, х).

Эти правила должны учитывать предметную область аксиом и теорем языка исчислений, логики предикатов.

Иначе перестановка кванторов приведет от истинного высказывания к ложному высказыванию:

∏ (х) E(у)Q (х, у)- истинно в интерпретации:

« Для каждого государства -∏ (х), существует город- E(у), который является его столицей-«(Q)», где х - город, у - столица.

Но формула E(у)∏ (х) Q(у, х)- будет после перестановки и интерпретации ложной. Нет такого города, который был бы столицей для всех государств.

Аксиомы языка логики предикатов включают аксиомы логики высказываний классической логики и имеют собственные, которые относятся к формулам с кванторами.

Они же удовлетворяют принципу независимости или излишеству: требование невыводимости друг из друга.

Все они являются истинными, тавтологиями, в любой предметной области интерпретации, например, языка узкого

Исчисления предикатов, в котором имеются только одноместные предикаты вида Р (х), Q(у) и т.д.

Пример аксиом.

∏ (х)В(х) → В(у) -Все, что можно утверждать о всех элементах некоторого класса, можно утверждать и об отдельных элементах этого класса.

Q (х) → E(у) - если какой-то предмет обладает свойством Q, то можно утверждать, что «некоторые предметы обладают свойством Q».

∏ (х) В(х) → E(х) В (х)- аналог закона логического квадрата « Все S есть P. → Некоторые S есть P.».

Правила интерпретации для функций высказываний с кванторами предполагают следующую трактовку кванторов, например, с одноместными предикатами: ∏ (х) В(х) – класс предметов, каждый предмет которого имеет свойство В.

E(у) В (у)- класс предметов, состоящий хотя бы из одного предмета, имеющего свойство В.

Что нового в логику внесло создание и исследовании языков исчислений, логики предикатов?

Во-первых, расширение области применения этих языках за границы только логики позволило представить в формализованном виде почти все известные нам формы, схемы и законы рассуждений, которые реализуются в разнообразных сферах мыслительной деятельности человека.

Во-вторых, на основе языков исчислений, логики предикатов были выявлены проблемы формализации в целом:

-непротиворечивость теории,

-полнота теории

И проблема разрешимости теории.

Теория противоречива, если в ней доказуема формула и формула, являющаяся ее отрицанием.

Доказано, что силлогистика Аристотеля, логика высказываний и узкого исчисления предикатов являются непротиворечивыми теориями.

Они же полны и разрешимы.

Принцип полноты означает, что истинные высказывания, например, аксиоматической теории, являются доказуемые в ней и, обратно, все доказанные в ней теоремы являются при интерпретации истинными.

Теория разрешима,

Если в ней есть алгоритм, который позволяет установить является ли конкретное истинное высказывание доказанным в теории на основе ее законов и правил вывода.

В 1931году австрийский логик, математик К. Гедель доказал, что аксиоматические теории расширительного характера не имеют собственных логических средств доказательства собственной непротиворечивости и полноты.

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: