Геометрические приложения определенного интеграла.

1. Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как

2. Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ ) в полярной системе координат, где ρ (φ ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β ] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна

3. Объем тела вращения. Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем выражается формулой

 

Рисунок 3.4.4.2. К задаче о нахождении объема тела по площади поперечного сечения

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точкуx, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его объем равен

4. Длина дуги кривой.

Пусть задана кривая Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой

В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой

5. Площадь поверхности вращения.

Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой

13 билет

Понятие дифференциального уравнения и его решения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f ( x ) и её производных (или дифференциалов):

;

(1)

(все три переменные x, y, F - действительны).
Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).
Пример: y ⁽⁴⁾ – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.
Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале ( a, b ) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.
Так, функция y ( x ) = e^x + x обращает уравнение: y ⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси ( y ⁽⁴⁾( x ) = e^x; e^x –( e^x + x ) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y ( x ) = sin( x ) + x ). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

;

(2)

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C ₁, C ₂, …, C_n из некоторой области n -мерного пространства) - частное решение уравнения (1);
2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n.
Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

;

(3)

и получать общее решение в форме

;

(4)

решённой относительно неизвестной функции.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида , где – независимая переменная (аргумент), – неизвестная функция аргумента – заданная функция трех переменных , изменяющихся в некоторой области трехмерного пространства.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в высшей математике называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

 

14 билет

Числовые ряды.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;

комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: