Вопрос30. Предикат. Множество истинности предиката. Кванторы общности существования. Виды формулировок теорем (прямая и обратная теоремы, теорема о необходимых и достаточных условиях).

 

Предика́ т (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — любое математическое высказывание, в котором есть, по меньшей мере, одна переменная. Предикат является основным объектом изучения логики первого порядка.

Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых допустимых значениях этих пременных.

Выражения: х > 5, x > y – предикаты.

Предика́ т (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений {0, 1} (или «ложь» и «истина»), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д

Ква́ нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают:

Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

Примеры

Обозначим P(x) предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

любое натуральное число кратно 5;

каждое натуральное число кратно 5;

все натуральные числа кратны 5;

следующим образом:

.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

существуют натуральные числа, кратные 5;

найдётся натуральное число, кратное 5;

хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись:

.Введение в понятие

Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х — нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число х нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом Р(х) слово «существует», получим истинное выказывание «Существует простое число х, являющееся нечётным» (например, х=3).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова: «все», «существует», и др., называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике

Высказывание означает, что область значений переменной x включена в область истинности предиката P(x).

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

Высказывание означает, что область истинности предиката P(x) непуста.

(«Существует (x) при котором утверждение верно»).

 

Вопрос31 Граф и его элементы. Основные понятия. Инцидентность, кратность, петля, смежность. Типы графов. Маршрут в графе и его длина. Классификация маршрутов. Матрицы смежности ориентированного и неориентированного графов.

В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин v_i , для которой все пары (v_i, v_{i + 1}) являются (ориентированными) рёбрами.

Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины u и v являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность (u, v, u) является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:

Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.

Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл.

Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).

Петля — элементарный цикл.

Граф или неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V, E), для которой выполнены следующие условия:

V это непустое множество вершин или узлов,

E это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

V (а значит и E, иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | — порядком, число рёбер | E | — размером графа.

Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e = {u, v}. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e = {v, v}.

Степенью deg V вершины V называют количество инцидентных ей рёбер(при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V, A), для которой выполнены следующие условия:

V это непустое множество вершин или узлов,

A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины v к вершине w.

Смешанный граф

Смешанный граф G — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G: = (V, E, A), где V, E и A определены так же, как выше.

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Изоморфные графы(? )

Граф G называется изоморфным графу H, если существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин графа H, обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе H должно быть ребро из вершины f(A) в вершину f(B) и наоборот — если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе G должно быть ребро из вершины f ^{− 1}(A) в вершину f ^{− 1}(B). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

 

Вопрос32 Функция. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики. Композиция функций. Элементарные функции.

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения ) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений ).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Способы задания функции

Аналитический способ

Функция математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением: . При этом, x есть переменная, пробегающая область определения функции, а y - область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом: (яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .

Аналогично можно задавать числовые функции. Например: где х пробегает множество вещественных чисел задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция как объект представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение как объект есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис ( ). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим " школьное" определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике)

 

 

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k =  3.

 

Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

 

A x + B y = C,

 

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

 

y = k / x,

где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

- область определения функции: x 0, область значений: y 0;

- функция монотонная ( убывающая ) при x < 0и при x > 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0);

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

 

 

Квадратичная функция. Это функция: y = ax ² + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax ². График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы.Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

 

 

Квадратичная функция. Это функция: y = ax ² + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax ². График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы.Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

 

 

График функции y = ax ² + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax ², но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

 

 

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x² и дискриминанта D: D = b² – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

 

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции:   < x   + ( т.e. x R ), а область

значений: … ( ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами! );

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей.

 

Показательная функция. Функция y = a^x, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81^x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y =  3, y = 3 i и y =  3 i (проверьте, пожалуйста! ). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции:   < x   + ( т.e. x R );

область значений: y > 0;

- функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

 

Логарифмическая функция. Функция y = log _a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0, а область значений:   < y   +

( т.e. y R );

- это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- у функции есть один ноль: x = 1.

 

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

 

 

График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на  2

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения:   < x   +  область значений:  1 y +1;

- эти функции периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные ( | y |   , всюду непрерывные, не монотонные, но

имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они

ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 );

- функции имеют бесчисленное множество нулей ( подробнее см. раздел

«Тригонометрические уравнения» ).

 

Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22

 

Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период ,

неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности

( какие? ), разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область

определения и область значений этих функций:

 

9.

Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функцийи их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

 

Функции y = Arcsin x ( рис.23 ) и y = Arccos x ( рис.24 )многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно:  1 x +1 и   < y   + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

 

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения:  1 x +1;

их области значений:  /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x).

 

Функции y = Arctan x ( рис.25 ) и y = Arccot x ( рис.26 )- многозначные, неограниченные функции; их область определения:   x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

 

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения:   x + ;

их области значений:  /2< y < /2 для y = arctan x и 0 < y <  для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );

функция y = arccot x нулей не имеет.

Композиция функций

Если даны два отображения и , где , то имеет смысл " сквозное отображение" из в , заданное формулой , , которое называется композицией функций и и обозначается .

Рис.1.30.Сквозное отображение из в

 

Таким образом, , при всех . Другое название композиции -- сложная функция (так как сквозное отображение " сложено" из отображений и ).

Пример 1.18 Пусть , , и , . Тогда , и определена композиция

 

Упражнение 1.3 Покажите, что если заменить множество в предыдущем примере на , то композиция снова будет определена, но равна теперь , а не .

Пример 1.19 Пусть , , и , . Тогда определена композиция , заданная формулой . По известной формуле приведения полученная композиция -- это косинус: при всех .

Замечание 1.5 Даже если для функций и имеют смысл обе композиции и (что бывает далеко не для любой пары функций и ), то функции и не обязаны совпадать; как правило, это не так.

Пример 1.20 Пусть и , . Тогда , а . Очевидно, что это разные функции: при всех , а принимает значение , например, при .

Применяя композицию функций, которые сами могут получаться как композиции, мы можем получать сложные функции вида и более длинные композиции.

 

Вопрос33 Взаимно-однозначное соответствие между множествами. Обратное правило и обратная функция. Графики взаимно обратных функций. Определения, свойства и графики гиперболических функций. (тут уже начинается вынос мозга)

Мощностью конечного множества (множества, содержащего конечное число элементов) называется количество его элементов. Мощность множества A обозначается m ( A ).

Пример 1

Определите мощность множества A = {1, 3, 5, 7, 9} нечётных чисел.

Показать решение

Простым пересчётом элементов убеждаемся, что нечётных чисел всего 5, и потому m ( A ) = 5.

Ответ. 5.

Ясно (да ну! ), что понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а B = {2, 4, 6, 8}, то m ( A ) = 5, а m ( B ) = 4 и потому m ( A ) > m ( B ).

Однако если мы имеем дело с бесконечными множествами, то пересчитать элементы множества уже не удастся. Но иногда можно, как говорят, установить взаимно однозначное соответствие между двумя бесконечными множествами.

 

Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если из элементов этих множеств можно составить пары ( a, b ), причем каждый элемент из A и каждый элемент из B входят в одну и только одну пару.

Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, содержат одинаковое количество элементов.

 

Множества A и B называют равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (ещё говорят: можно установить взаимно однозначное отображение множеств).

Мощность множества натуральных чисел обозначается א. Алеф א – первая буква еврейского алфавита, так обозначается наименьшая возможная для бесконечных множеств мощность.

 

Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называются счётными множествами.

Пример 2

Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу:

1 2 3... n... ↕ ↕ ↕ ↕ 1 3 5... 2 n – 1...

Так как множество нечётных чисел является подмножеством натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.

Пример 3

Множество положительных рациональных чисел счётно. Действительно, если представить каждое рациональное число в виде несократимой дроби и записать его в следующую таблицу, а затем пронумеровать, как указано на рисунке, то окажется, что множество рациональных положительных чисел действительно счётно.

1

Рисунок 4.1.2.1.

 

 

Пример 4

Любой отрезок [ a; b ] равномощен отрезку [0; 1]. Взаимно однозначное соответствие между ними устанавливает формула y = ( b − a ) · x + a, где x [0; 1], y [ a; b ].

Пример 5

Множества и счётны и потому равномощны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие между ними по следующему правилу:

A ... ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ N 1 2 3... n... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ B 0 ... ...

Существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность счётных множеств. Так, множество всех точек отрезка [0; 1] не равномощно множеству натуральных чисел доказательство этой теоремы принадлежит немецкому математику Георгу Кантору.

Как было показано в примере 4, множество всех точек отрезка [0; 1] равномощно множеству точек отрезка любой длины. Легко показать равномощность множеств отрезка [ a; b ] и интервала ( a; b ), а также отрезка [ a; b ] и луча ( a; +∞ ). Наконец, можно доказать равномощность множеств всех точек отрезка и квадрата.

Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же, множества всех точек числовой оси) обозначается символом c (« континуум »). Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א < c.

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2 ^c и называется гиперконтинуумом.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: