Как составить уравнение плоскости?

Математика

Вопрос.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица содержащая m строк и n столбцов.

Нулевая матрица – матрица состоящая из одних нулей. Единичная матрица – обозначается E и состоит из нулей и единиц (квадратная матрица). К линейным операциям над матрицами относятся:

Сложение матриц.

 

Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

1. А + В = В + А.

2. (А + В) + С = А + (В + С).

3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

 

Пример.

 

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).

2. k(A + B) = kA + kB.

3. (k + m)A = kA + mA.

 

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

 

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.

 

Пример.

. Тогда

 

Перемножение матриц.

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

 

Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

 

Пример . При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет Найдем элементы матрицы С:

Итак Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если ).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.

Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:

Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.

 

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

 

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

 

Доказательство.

1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:

.

Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

= . Теорема доказана.

 

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Пример.

Найдем матрицу, обратную к

следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем

Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.

 

Вопрос.

Умножение матрицы – умножение матрицы А(m*n) на матрицу В(k*l) ó число столбцов 1-ой матрицы равно числу строк 2-ой матрицы. Получаем новую матрицу С=А*В(m*l) – размерность (m*l).

Свойства умножения матриц. Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц:

1. Свойство ассоциативности умножения матриц .

2. Два свойства дистрибутивности и

3. Умножения матриц некоммутативна.

4. Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо , а для произвольной матрицыА порядка n на p справедливо .

- Матрица A^{− 1} называется обратной к матрице А если выполняется условие: A^{− 1} * А =А * A^{− 1} =E.

Вопрос.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Под элементарными преобразованиями матриц подразумевают:

а) отбрасывание 0-строки ( столбца)

б)умножение всех элементов строки(столбца) на не 0-ое число.

в)изменение порядка строк столбцов матрицы.

г)прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементам другой строки умноженное на любое число отличное от нуля.

д)транспонирование матрицы также относится к элементарным преобразованиям А=А^Т.

Метод вычисления обратной матрицы:

1) Метод элементарных преобразований. Метод Гаусса.

- ( А_n*n Ι E_n )=Г_n*2n – матрица гамма

- с помощью элементарных преобразований из матрицы Г≈ (А₁ Ι Е)

- Г₁≈ (Е Ι А^-1)=Г₂

-А^-1А=А*А^-1=Е

Рангом матрицы r(A) называется наибольший порядок отличного от нуля минора данной матрицы r(A)=r(A) => A≈ B.

 

Вопрос.

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель

Сравнивая D с D^* можно убедиться, что D = D^*.

Определение 5. Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

Свойство 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель.

Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель, действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.

Заметим, что все остальные приводимые здесь свойства доказываются аналогично на примерах, очень просто и поэтому далее все свойства приводятся без доказательств. Читатель может в качестве упражнений самостоятельно проверить каждое из этих свойств.

Свойство 4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы умножить (или разделить) на одно и то же число m, отличное от нуля, то определитель также умножится (разделится) на это число.

Свойство 5. Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) пропорциональны другой строке (столбцу), равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого - второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

Сравнивая результат с исходным определителем убеждаемся в справедливости шестого свойства.

Это свойство широко используется для практических вычислений при работе с определителями порядка больше трех.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо число.

 

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Правило треугольников: определитель 3-его порядка равен сумме 6-ти произведений из которых берутся 3 с положительным и 3 с отрицательным.

Правило Саррюса. Усовершенствованный метод треугольников.

Свойство 1. Величина определителя не изменяется при замене строк столбцами.

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) между собой, величина определителя меняет знак.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) содержат одинаковый множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) есть сумма равного числа слагаемых, то определитель будет равен сумме определителей, в которых элементы указанной строки (столбца) записываются отдельными слагаемыми.

Свойство 6. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то весь определитель тоже равен нулю.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) добавить соответствующие элементы другой строки(столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Миноры и алгебраические дополнения:

Рассмотрим определитель третьего порядка

(1.5)

Вычеркнем из определителя одну строку и один столбец, например, первую строку и второй столбец. Из оставшиеся элементов составим определитель второго порядка

номер которого (индекс у D ) определяется номерами вычеркнутых строки (первой) и столбца (второй). Если из определителя (1.5) вычеркнуть другие строку и столбец, например, третий и третий, соответственно, то оставшиеся элементы будут также составлять определитель второго порядка, номер которого теперь будет другой -

Определение 7. Определитель, который получается вычеркиванием одной строки и одного столбца из исходного определителя называется минором основного определителя.

Очевидно, что определитель третьего порядка имеет 9 различных миноров второго порядка, т.е. каждый элемент определителя имеет минор. Если взять определитель, например, пятого порядка, то количество миноров у такого определителя будет 25 – по количеству элементов (5 в строке и 5 столбцов). И эти миноры будут представлены определителями четвертого порядка.

Определение 8. Назовем алгебраическим дополнением любого элемента определителя D минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если сумма номеров элемента четная и минус в противном случае

(1.6)

Пример. Выписать и вычислить все алгебраические дополнения определителя .

Решение. У определителя третьего порядка имеется 9 алгебраических дополнений (по каждому из элементов).

.

Теорема 1. Определитель D равен сумме произведений элементов любого столбца или строки на их алгебраические дополнения

(1.7)

Очевидно, что для определителя третьего порядка можно записать шесть различных равенств (по трем столбцам и по трем строчкам).

Теорема 2. Суммы, произведений элементов для любого столбца (строки) на алгебраические дополнения другого столбца (строки) определителя, равна нулю.

Доказательство. Проведем доказательство на примере определителя (5). Возьмем сумму произведений алгебраических дополнений первой строки на элементы третьей строки. Получим

Разложение определителя по строке или столбцу дает нам правило вычисления любых определителей высоких порядков (четвертого и выше).

Определение 9. Определителем n -го порядка называется число равное алгебраической сумме

(1.8)

где A_ij=(-1)^i+jD_ij есть алгебраические дополнения элемента a_ij, а D_ij - есть соответствующие миноры, т.е. определители ( n-1 )-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n -го столбца, на пересечение которых находится элемент a_ij.

Рассмотренные приемы позволяют вычислять определители любых порядков, а, следовательно, находить решение линейных систем любых порядков.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Для вычисления определителя пятого порядка воспользуемся формулой (1.8) и разложим данный определитель по первой строке (в этой строке все члены, кроме первого равны нулю). Получим

т.е. определитель стал теперь четвертого порядка. Опять разложим определитель по первой строке, так как все члены этой строки равны нулю, кроме одного. Затем вычислим полученный определитель третьего порядка по любой вычислительной схеме.

 

Разложение определителя по строке или столбцу:

рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.
Выберем i, j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом M_{i j}:

.

Алгебраическое дополнение A_{i, j} элемента a_{i j} определяется формулой

.

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

.

 

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

.

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Вопрос.

Обратную матрицуможно найти по следующей формуле:

 

, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

6 Вопрос.

Системы линейных уравнений: основные определения.

Определение. Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Определение. Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k₁, k₂, ..., k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁, x₂, ..., x_n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.

2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.

3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

Определение: СЛАУ 1 называется совместной если существует хотя бы одно решение. Однородная система уравнений совместно потому что существует нулевое решение.

Теорема Кронекера – Капелли: Для того чтобы СЛАУ 1 была совместной необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы при неизвестной равнялся расширенной матрице и равнялся числу ранга матрицы (r).

Замечание: Если ранг системы равен числу неизвестных то СЛАУ 1 называется определенной.

Если r< n то система называется неопределенной и тогда r неизвестных называется базисными,

оставшиеся n-r неизвестных называется свободными.

Определение: Если определитель матрицы коэффициентов системы не равен нулю то такая матрица называется невырожденной тогда СЛАУ 1 имеет решение.

Формулы Крамера:

 

Вопрос.

Преобразование A линейного пространства L называется линейным, если для любых векторов X и Y и любого числа α выполнены равенства:

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора

Вопрос.

ВСПОМНИТЬ!

Вопрос.

Свойства скалярного произведения:

1. Переместительное свойтво:

4. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0¹ b, то а^ b:

Скалярное произведение в координатах:

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения:

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами:

Вопрос.

Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Векторного произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны

Если вектор c равен векторному произведению векторов a и b, то он перпендикулярен этим векторам.

a × b = -b × a

(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

(a + b) × c = a × c + b × c

Вопрос.

Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.

Обозначение: abc = [ab]c.

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a, b и с компланарны, то [ab]c = 0.

Доказательство.

а) Если a, b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ab] c. Поэтому [ab]c = 0.

в) Если a, b, c не компланарны, [ab]c = |[ab]||c| = S· |c|cosφ, где φ – угол между с и [ab]. Тогда |c|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ab]c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ab]. Утверждение доказано.

Следствие. [ab]c = a[bc].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся: abc.

2) Если a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, c = {X_c, Y_c, Z_c}, то

abc = .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:

[ab]c = (Y_aZ_b – Y_bZ_a)X_c + (X_bZ_a – X_aZ_b)Y_c + (X_aY_b – X_bY_a)Z_c = .

 

Вопрос.

Вопрос.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² не равно 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 — это уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Впорос.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

a11x^2+ 2a12xy + a22y^2+ 2a13x + 2a23y + a33 = 0

Невырожденные кривые:

∆ =/0

Вырожденные кривые:

∆ =0.

ЭЛЛИПС

ГИПЕРБОЛА

px ПАРАБОЛА

 

Вопрос.

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

 

Вопрос.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым множеством. Его обозначается знаком . Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например = {х | x х}, в области множеств оно играет как бы роль нуля.

Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М.

а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: М N = {х|х М и х N}.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: M N = {х | х М или х N}.

Вопрос.

ограниченное множество. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если для всех элементов из X, существует такое число a, что x  a (x  a).
Множество X называется ограниченным, если найдутся a и b: " x Î X, a £ x £ b, x Î [a, b].

Эквивалентное определение ограниченного множества можно сформулировать следующим образом.

Определение 18. Множество X ограничено, если существует такое число c> 0, что для всех xÎ X выполнено неравенство |x| £ c.

Вопрос.

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x₁, x₂  X, для которых f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ = x₂. (рис. 7)

Сюръекцией (или отображением " на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).

Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция (рис.9).

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

· алгебраические:

· степенная;

· рациональная.

· трансцендентные:

· показательная и логарифмическая;

· тригонометрические и обратные тригонометрические.

Вопрос.

· Преде́ л фу́ нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

· В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний.

· Преде́ льная то́ чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

· Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

· Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

· Свойства бесконечно малых

Ø Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Ø Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Ø Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Ø Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Вопрос.

· Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

· Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

 

· Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

· Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

· Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

· Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

 

 

· Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

· Предел показательной функции

где основание b > 0.

· Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

 

· Теорема " о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

 

То

 

 

То есть функция f (x) остается " зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Вопрос.

· Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

· Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

· Точки разрыва первого и второго рода:

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Вопрос.

Вопрос.

· Дифференциа́ л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

 

· Произво́ дная в математике — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной - скорость изменения величины или процесса.

1234Следующая ⇒

Поделиться: