Как составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам?

Рассмотрим точку и два неколлинеарных вектора . Уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно векторам , выражается формулой:

! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости.

Принципиально ситуация выглядит так:

Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость (векторы будут свободно «вертеться» вокруг точки).

Пример 1

Составить уравнение плоскости по точке и векторам .

Решение: Составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:

Раскрываем определители второго порядка:

На первом месте у нас находится знак «минус». Хорошим тоном считается убрать наглеца, в этих целях меняем знак у каждого слагаемого. Проводим дальнейшие упрощения и получаем уравнение плоскости:

Сократить здесь ничего нельзя, поэтому:

Ответ:

 

Вопрос.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым множеством. Его обозначается знаком . Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например = {х | x х}, в области множеств оно играет как бы роль нуля.

Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М.

а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: М N = {х|х М и х N}.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: M N = {х | х М или х N}.

Вопрос.

ограниченное множество. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если для всех элементов из X, существует такое число a, что x  a (x  a).
Множество X называется ограниченным, если найдутся a и b: " x Î X, a £ x £ b, x Î [a, b].

Эквивалентное определение ограниченного множества можно сформулировать следующим образом.

Определение 18. Множество X ограничено, если существует такое число c> 0, что для всех xÎ X выполнено неравенство |x| £ c.

Вопрос.

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x₁, x₂  X, для которых f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ = x₂. (рис. 7)

Сюръекцией (или отображением " на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).

Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция (рис.9).

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

· алгебраические:

· степенная;

· рациональная.

· трансцендентные:

· показательная и логарифмическая;

· тригонометрические и обратные тригонометрические.

Вопрос.

· Преде́ л фу́ нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

· В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний.

· Преде́ льная то́ чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

· Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

· Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

· Свойства бесконечно малых

Ø Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Ø Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Ø Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Ø Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Вопрос.

· Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

· Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

 

· Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

· Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

· Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

· Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

 

 

· Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

· Предел показательной функции

где основание b > 0.

· Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

 

· Теорема " о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

 

То

 

 

То есть функция f (x) остается " зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Вопрос.

· Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

· Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

· Точки разрыва первого и второго рода:

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Вопрос.

Вопрос.

· Дифференциа́ л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

 

· Произво́ дная в математике — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной - скорость изменения величины или процесса.

· " Приращение это в общем на сколько функция увеличилась. то есть точно. дифференциал - это то на сколько функция увеличилась, с точностью до бесконечно малых высшего порядка. то есть приближение, линейное. производная - это " скорость" увеличение дифференциала при увеличении приращения аргумента."

 

Вопрос.

· Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

· Если u ( x ) ≡ const, то

u’ ( x ) ≡ 0

· Если u ( x ) и v ( x ) - дифференцируемые функции в точке x0, то:

 

( c u )’ = c u’, d ( c u ) = c du, ( c – const );

 

( u ± v )’ = u’ ± v’, d ( u ± v ) = du ± dv;

 

 

( u v )’ = u’ v + u v’, d ( u v ) = v du + u dv;

 

· Производная сложной функции. Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией:

 

h ( x ) = g ( f ( x ) ).

 

· Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке f ( x0 ), то сложная функция h также имеет производную в точке x0, вычисляемую по формуле:

 

h’ ( x0 ) = g’ ( f ( x0 ) ) · f’ ( x0 ).

 

Вопрос.

· Производная композиции (сложной функции):

· Производная обратной функции

 

 

Вопрос.

· Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

· Геометрический смысл дифференциала

Построим график функции y = f (x). В точке M(x, f (x)) проведем касательную MT. Как известно, tg α = f ' (x), из Δ ТМР имеем TP = MP· tg α, MP = Δ x = dx, поэтому

TP = f '(x)·dx = dy..

· Замечание. Из определения дифференциала следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента

.

Вопрос.

· Производная параметрически заданной функции

Если функция f задана параметрически

x = φ (t), y = ψ (t), α < t < β,

где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ '(t) ≠ 0, то

· Производная неявно заданной функции

Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

Вопрос.

· Tеорема Ферма

Для любого натурального числа уравнение:

не имеет натуральных решений a, b и c.

· Теорема Ролля

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке [a: b] и дифференцируемая на интервале(a; b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

· Теорема Лагранжа

Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс).

· Правило Лопиталя

Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞ /∞ . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Вопрос.

Экстремум функции

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: