Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Частные производные высших порядков. Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже



Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.



Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

38. Производные неявно заданной функции

Пусть дана дифференцируемая функция , для которой в некоторой точке выполнено неравенство Тогда в некоторой окрестности точки уравнение определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию , заданную вблизи точки в . Пусть требуется найти её частные производные , . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции которая тождественно равна 0 в окрестности точки ; следовательно, и все её частные производные в точке обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции , переменную , где , получаем по формуле : (производные равны 0 при , ), то есть откуда Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции , не имея задающего её явного выражения. Пример Пусть функция задана неявно уравнением в окрестности точки (проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные и . Поскольку для функции частные производные равны так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле ( 7.9 ) получаем: Подставляя координаты точки (1; 2; 1), находим:

 

Вопрос 39.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .


Прямая, проведенная через точку поверхности , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.


Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке записывается в виде:
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:
.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением , в точке записывается в виде: .


Так как в условии задачи уравнение поверхности задано в явном виде, то сначала его необходимо преобразовать к виду : .


Теперь найдем частные производные (при этом, в первых двух случаях используем правило дифференцирования сложной функции одной переменной):


Вычислим значения частных производных первого порядка в точке :


Подставим полученные значения в уравнение касательной плоскости:


.

Вопрос 40.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»): .


При этом говорят, что в области определено векторное поле градиентов.


Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу:
.

 

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Найти производную от функции в точке по направлению вектора .

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :
,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.


По условию задачи вектор имеет координаты . Тогда его длина равна:
.


Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения:
.


Далее для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции :


Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :


В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции в точке в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:


Ответ: производная от функции в точке по направлению вектора равна .

 

Вопрос 41.

Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .


Будем предполагать, что функция и ее частные производные первого порядка непрерывны в области .


Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. .


Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу: ,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

Вопрос 42.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х, у) плоскости Оху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня.

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 — x² - y². Их уравнения имеют вид x² + y² = 4 — c (c=const) — уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами. Например, при с=0 получаем окружностьx² + y² = 4.

Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня.

Пример.

Для функции u = 3x + 5y — 7z —12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями 3x + 5y — 7z —12 + с = 0.

 


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 330; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.034 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь