Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Частные производные высших порядков. Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части. Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными. 38. Производные неявно заданной функции Пусть дана дифференцируемая функция , для которой в некоторой точке выполнено неравенство Тогда в некоторой окрестности точки уравнение определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию , заданную вблизи точки в . Пусть требуется найти её частные производные , . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции которая тождественно равна 0 в окрестности точки ; следовательно, и все её частные производные в точке обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции , переменную , где , получаем по формуле : (производные равны 0 при , ), то есть откуда Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции , не имея задающего её явного выражения. Пример Пусть функция задана неявно уравнением в окрестности точки (проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные и . Поскольку для функции частные производные равны (и так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле ( 7.9 ) получаем: Подставляя координаты точки (1; 2; 1), находим:
Вопрос 39. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .
Примеры решения задач Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Решение. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением , в точке записывается в виде: .
Вычислим значения частных производных первого порядка в точке :
Вопрос 40.
Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .
Свойства градиента 1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно . 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
Примеры решения задач Пример 1. Найти производную от функции в точке по направлению вектора . Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :
Вопрос 41.
Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .
Вопрос 42. Линии и поверхности уровня. Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х, у) плоскости Оху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня. Пример. Найдем линии уровня для поверхности z = 4 — x² - y². Их уравнения имеют вид x² + y² = 4 — c (c=const) — уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами. Например, при с=0 получаем окружностьx² + y² = 4. Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня. Пример. Для функции u = 3x + 5y — 7z —12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями 3x + 5y — 7z —12 + с = 0.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 330; Нарушение авторского права страницы