Связь пределов последовательностей с арифметическими операциями.

Связь пределов последовательностей с арифметическими операциями.

 

Если x_n, y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n¹ 0 называются соответственно последовательности

{(x_n± y_n)}, {(x_ny_n)}, {(x_n/y_n}.

Теорема 8(предел суммы, произведения, частного). Пусть

lim_n®¥ x_n = A, lim_n®¥ y_n = B,

тогда

1. lim_n®¥ (x_n± y_n) = A± B;

2. lim_n®¥ x_ny_n = AB;

3. lim_n®¥ x_n/y_n = A/B, при B¹ 0.

Теорема 9. Если

lim_{n ® ¥} x_n = A,

lim_{n ® ¥} y_n = B,

и A< B, то $ N: " n> N x_n< y_n.

Теорема 10 (о трех последовательностях). Пусть последовательности x_n, y_n, z_n удовлетворяют при любом n> N условию: x_n £ y_n £ z_n, причем

lim_{n ® ¥} x_n = lim_{n ® ¥} z_n = A.

Тогда

lim_{n ® ¥} y_n = A.

Доказательство. Согласно определению предела " e > 0 $ N₁: " n> N₁ выполняется A- e < x_n < A+ e " e > 0 $ N₂: " n > N₂, A-e < z_n < A+ e Если N = max(N₁, N₂), тогда при n> N получим A-e< x_n £ y_n £ z_n < A+ e. Следовательно,

|y_n-A|< e.

Следствие 2. Если все члены последовательности принадлежат отрезку [a, b], и $ lim_{n ® ¥} x_n = c, то c Î [a, b].

Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для x_n с нечетными номерами.

 

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

 

 

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть α _n и β _n - бесконечно малые последовательности.

ε > 0 N₁ : n > N₁ , <

ε > 0 N₂ : n > N₂ , <

α _n + β _n α _n + β _n

ε > 0 N = max ( N₁ , N₂ ): n > N α _n + β _n < ε + ε =

2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо α _n + β _n α _n + β _n надо взять α _n − β _n α _n − β _n .

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. M = max { ε, α ₁ , ..., α _{N − 1} }

n: α _n M.

4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

{α _n} бесконечно малая, {x_n} - ограниченная.

c > 0: x_n c, n < N

ε > 0 N : n > N , α _n <

α _n * x_n = α _n * x_n

ε > 0 N : n > N

α _n * x_n < ε.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Доказательство.

{α _n} - бесконечно малая последовательность.

При n N * α _n = c. Предположим, c 0.

Рассмотрим ε = c / 2 > 0. N : n > N (ε ) α _n < c / 2.

Положим N₁ = max , N * ), тогда при n > N, c < c / 2 - противоречие, значит, c = 0.

6 (а). Если {x_n} - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / x_n}, причём она является бесконечно малой.

6 (б). Если {y_n} - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / e_n}, причём она является бесконечно большой.

Доказательство. M > 0 N (M): n > N (M) x_n > M.

Из этого видно, что начиная с определённого номера n > 0, а это значит, что последовательность определена.

{1 / x_n} < - бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

 

 

Основные свойства функций

1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример.

а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к ; б) Функция - нечетная (рис.3.3 б). ; в) Функция - общего вида (рис.3.3 в). .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример.

1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а). 2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б).

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.

- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .

4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Пример.

, период , т.к. для любых .

 

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к

Предел функции по Коши

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Бесконечно малые функции

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.
Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х₀, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε ) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде
( ε > 0) ( δ = δ (ε ) > 0)( 0 < |х – х₀| < δ ): | f (x) | < ε.

Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х₀ отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.
Доказательство. Пусть

Рассмотрим разность f (x) – А = α (х). Так как

,

то функция α (х) является бесконечно малой при x → х₀.

Бесконечно большие функции

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x₀ (или x → x₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ (K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х₀ | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.
В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х₀, или что она имеет бесконечный предел в точке х = х₀. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K), то пишут

или

и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞ ).
По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

, , , .

Так, например, пишут если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ (K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х₀ < x < х₀ + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи

( K > 0) ( δ = δ (K)> 0)( x₀ < х < x₀+δ ): f (x) > K.

 

Точки разрыва функций.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где .

Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей ( .

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке .

Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть, чтобы существовала конечная производная функции в точке .

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :

Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

В случае бесконечной производной .

Из уравнения секущей имеем:

Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g: [a₁, b₁] → [c₁, d₁], причём [a₁, b₁] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х₀ [a, b], а функция gдифференцируема в точке y₀ = f (x₀) [a₁, b₁], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х₀ производную, равную

g ' ( f ( x₀ ) )·f ' ( x₀ ).

Доказательство. Так как функция g(y) дифференцируема в точке у₀, то имеем

Δ g (y) = g ' (y₀)·Δ y + δ (Δ y)·Δ y,

где δ (Δ х) → 0 при Δ х → 0. Так как функция f (x)дифференцируема в точке х₀, то имеем

Δ y = f ' ( x₀ )·Δ x + ε (Δ x)·Δ x,

где ε (Δ х) → 0 при Δ х → 0. Поставляя второе соотношение в первое, получим

Разделив обе части последнего соотношения на Δ х, получим

.

Переходя к пределу при Δ х → 0 в левой и правой части последнего равенства с учётом непрерывности рассматриваемых функций, получим

g ' ( f ( x ) )|_x0 = g ' (y₀)·f ' (x₀).

Что и требовалось доказать.

 

1. По определению производной функции Учитывая тригонометрическое тождество и первый замечательный предел, получим   2. Вывод правила дифференцирования функции основывается на тригонометрическом тождестве и первом замечательном пределе:   3. Для вывода правила дифференцирования функции представим эту функцию в виде отношения синуса к косинусу и воспользуемся правилом дифференцирования частного от деления двух функций:   4.Аналогично обосновывается правило дифференцирования функции :

 

Дифференцируемость функции.

Дифференцируемость функции

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называетсядифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, идифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

В силу геометрического смысла производной следующие два свойства равносильны друг другу: 1) функция дифференцируема при ; 2) график этой точки имеет касательную в точке , не параллельную оси ординат (т.е. с конечным угловым коэффициентом).

 

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть в некоторой точке области определения функции существует конечный предел

Запишем приращение функции в виде

и найдём

Следовательно, если , то и , а это означает, что функция непрерывна в рассматриваемой точке.

 

Таким образом, из дифференцируемости функции вытекает её непрерывность. Обратная теорема неверна, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках являются недифференцируемыми.

 

Пример 3. Функция

непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке, так как в ней график не имеет касательной. (рис. 79).

 

Из сказанного выше следует, что непрерывность в точке x является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке, так как из непрерывности функции в точке не всегда следует дифференцируемость в этой точке.

 

Формула Лейбница

 

Пусть y = u·v, где u и v — некоторые функции от переменной x, имеющие производные любого порядка. Тогда

.

где есть число сочетаний из n элементов по k (k = 0, 1, 2, …, n). Доказательство. Для k = 1 имеем

для k = 2 имеем

для k = 3 имеем

Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома (u + v)ⁿ по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: u⁽⁰⁾ и v⁽⁰⁾.
Пусть формула Лейбница справедлива при k = n:

.

Докажем, что формула справедлива при k = n + 1. Действительно, в этом случае

Здесь воспользовались свойством сочетаний . Изменим индекс суммирования во второй сумме, положив k = p - 1. В этом случае

и в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. После обозначения общего индекса суммирования черезр, будем иметь

.

Так как и , получим

.

Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.
Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.
Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Теорема Коши

Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
Рассмотрим функцию

.

Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c Î (a, b), такая, что F ' (c) = 0. Так как

,

то

.

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

 

Правило Лопиталя.

Первое правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x) ≠ 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение

при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Предположим, что ∞ < A < + ∞. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х₀ так, чтобы в интервале (а, x₀) выполнялось неравенство

.

Применим теорему Коши к отрезку [а, x₀], Если х [а, x₀], то существует такая точка с [а, x], что

и, следовательно, для всех х [а, x₀] справедливо неравенство

.

Это означает, что .

Второе правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (a, b) (может быть, бесконечном) и g' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что

.

Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа ε > 0 выберем х₀ так, чтобы в интервале (а, x₀) выполнялось неравенство

.

Определим функцию D(x, x₀) из условия

.

Имеем

при x → a + 0. Применяя к отрезку [x, x₀] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с [x, x₀]

Отсюда для всех х, для которых | D( x, x₀) - 1 | < ε, находим

Так как ε произвольно мало, то , что и требовалось доказать.

 

Формула Тейлора.

 

Пусть функция f ( x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула

.

Доказательство. Положим

, .

Функция F(x) имеет производные до порядка n + 1 вместе с функцией f (x). Функция G(x) имеет производные всех порядков, причём её производные положительны при х > a. Легко проверить, что

,

и поэтому F ^(m)(а) = f ^(m)(а) – f ^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n. Так как G^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n, то выполнены все условия обобщённой формулы Коши. При этом очевидно, что

F ^{(n + 1)}(х) = f ^{(n + 1)}(х), G^{(n + 1)}(х) = (n + 1)!

Применение обобщённой формулы Коши к этим функциям приводит к соотношению

,

123456Следующая ⇒

Поделиться: