Дифференциалы высших порядков.

 

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y) = δ [f ' (x) d x] = [f ' (x) d x] ' δ x = f '' (x) d(x) δ x.

Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d²y, т.е.

d²y = f ''(x)·(dx)².

В свою очередь, дифференциал δ (d²y) от дифференциала d²y, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d³y и т.д. Дифференциал δ (d^n-1y) от дифференциала d^n-1f, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f(x) и обозначается dⁿy.
Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула

dⁿy = y⁽ⁿ⁾·(dx)ⁿ, n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n- 1

d^{n− 1}y = y^{(n− 1)}·(dx)^{n− 1},

и функция y^(n-1)(x) дифференцируема в некоторой точке x. Тогда

Полагая δ x = dx, получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n - я производная функции y = f ( x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.

 

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.
Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.
Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx.

Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M₁ (a; f(a)) и M₂(b; f (b)) графика функции у = f(x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка " c" такая, что касательная к графику в точке (c; f(c)) параллельна секущей M₁M₂. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.
Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации

f (x) − f (x₀) ≈ f '(x₀)·(x − x₀).

Отличие только лишь в выборе точки для подсчета значения производной и в знаке равенства.

Теорема Коши

Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
Рассмотрим функцию

.

Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c Î (a, b), такая, что F ' (c) = 0. Так как

,

то

.

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

 

Правило Лопиталя.

Первое правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x) ≠ 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение

при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Предположим, что ∞ < A < + ∞. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х₀ так, чтобы в интервале (а, x₀) выполнялось неравенство

.

Применим теорему Коши к отрезку [а, x₀], Если х [а, x₀], то существует такая точка с [а, x], что

и, следовательно, для всех х [а, x₀] справедливо неравенство

.

Это означает, что .

Второе правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (a, b) (может быть, бесконечном) и g' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что

.

Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
Теорема. Если при указанных условиях

,

то и

.

Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа ε > 0 выберем х₀ так, чтобы в интервале (а, x₀) выполнялось неравенство

.

Определим функцию D(x, x₀) из условия

.

Имеем

при x → a + 0. Применяя к отрезку [x, x₀] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с [x, x₀]

Отсюда для всех х, для которых | D( x, x₀) - 1 | < ε, находим

Так как ε произвольно мало, то , что и требовалось доказать.

 

Формула Тейлора.

 

Пусть функция f ( x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула

.

Доказательство. Положим

, .

Функция F(x) имеет производные до порядка n + 1 вместе с функцией f (x). Функция G(x) имеет производные всех порядков, причём её производные положительны при х > a. Легко проверить, что

,

и поэтому F ^(m)(а) = f ^(m)(а) – f ^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n. Так как G^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n, то выполнены все условия обобщённой формулы Коши. При этом очевидно, что

F ^{(n + 1)}(х) = f ^{(n + 1)}(х), G^{(n + 1)}(х) = (n + 1)!

Применение обобщённой формулы Коши к этим функциям приводит к соотношению

,

откуда и получается формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

.

Как видно, функция раскладывается на две части. Главная часть

называется многочленом Тейлора порядка n. Второе слагаемое

называется остаточным членом функции в форме Лагранжа.
Если в формуле Тейлора положить а = 0, то последняя обращается в формулу Маклорена

,

где с (0; х). Формула Тейлора позволяет функцию f (x), возможно, сложной природы, заменить приблизительно сравнительно простой функцией — многочленом.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: