Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

 

 

1.

2.

3.

4.

Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1. Перпендикулярен векторам и .

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

3. Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

4.
Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.

 

 

Уравнение прямой на плоскости

Параметрическое ур-е прямой в векторном виде r = r₀ + ts,

Параметрическое ур-е прямой:

где n, m – координ. направл-его вектора S;

Каноническое уравнение прямой: (x-x0)/m=(y-y0)n

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: М₀(х₀, у₀)и M1(x1, y1):

(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)

Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b=1

2прямые:

перпендикулярность: s₁*s₂=0

параллельность: , где М₁ и М₂ – точки, принадлеж. прямым

совпадения: s₁//s₂//M₁M₂

пересечение: M₁M₂*s₁*s₂=0

скрещивающиеся: M₁M₂*s₁*s₂≠ 0

 

Уравнения плоскости

проходящей через точку М₀ и ┴ нормальному вектору n(A, B, C)

где a, b, c – величины направл-ых отрезков, отсекаемых плос-тью на осях Ox, Oy, Oz соответ.

Нормальное ур-ие плоскости

направляющие кос-сы норм. вектора n, напрвл. из начала координ. с сторону плос-ти, а p> 0 – рассто-ние от нач. координ. до плос-ти.

Угол между плос-тями:

Параболла

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная

Вывод канонического уравнения

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение. ( 2с – S между F).

 

Гиперболла

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение.

 

Пов-ти 2го порядка

общ. ур-ние: ax²+bx²+cz²+dxy+eyz+fxz

+gx+my+nz+r=0

 

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Эллипсоидом трёхосным вращения наз. поверхность, полученная вращением эллипса вокруг одной из его осей.

Эллипсоид отсекает на осях координат Ox, Oy, Oz отрезки 2а, 2b, 2c, которые наз. осями, a=OA, b=OB, c=OC-полуоси эллипсоида. Если , , , то поверхность наз. трёхосным эллипсоидом.

Одно- и двухполостным гиперболоидом

Эллиптический параболоид и гиперболический параболоид

Св-ва пределов

1Пусть последовательность сходится и её предел=а, тогда Р-любое число Р< а, то начиная с некоторого номера все члены последовательности будут Xn> P, n> N

2Если предел последовательности> 0, то начиная с некоторого номера все пред будут> 0

3Сходящаяся последовательность ограничена

4Не любая огранич послед сходится -1, 1, -1, …0

5Сходящ послед имеет один предел

 

Теорема о бесконечно малых

Теорема: 1 если и беск. малые посл. тоих сумма явл беск малой

2. Произв беск малой посл на огранич явл беск малой т.е.

замечательный предел и др. замечательные пределы:

1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

С   М х   tgx   О cos x A B

 

 

Пусть 0 < X < π /2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

2 замечательный предел.

Пусть х→ ∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→ ∞, то n→ ∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

Непрерывность функции:

Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→ х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀

 

Классификация точек разрыва:

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:

- А₁=А₂ то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

- А₁≠ А₂ то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

|A₁ – A₂| называется скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

 

Производная геометрический смысл производной:

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента: lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx (Dx®0)

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` ( Dx®0)

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x², Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x ( x®0) (Dx®0)

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0 tgL₀=y

 

 

Производная обратной ф-ии

Если ф-ия y=f(x) монотонно возр.(уб.) некоторые окрестности точки x₀, то в окрест. точки y₀=f(x₀) опред. обратная функция x=f^-1(y)

Пусть функция y=f(x) монотонно возрастает (убывает) в окрестности точки x₀ и непрерывна, тогда если y=f(x) дифференцируема в точке x₀ и производная в точке x₀ не равна 0, то в окрестности точки y₀ существует обратная функция, которая дифференц. в точке y₀ и ее производная x’(y₀)=1/y’(x₀)

Производная сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`, или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

Теорема Роля

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж [a, b] деффер. на интервале (a, b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a, b), такая, что f’(c)=0.(Т-ма Р явл частным случаем т-мы Лагр.)

 

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и дефференцирована на (a, b), то сущест.

т. с(a, b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹ 0.

Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a, b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a, b)

3). g’(x)¹ 0 на интер. (a, b), то сущ. т. с

g(b)¹ g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a, b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a, b)

3). F(a)=0; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ (a, b); F’(с)=0

Теорема Лопиталя.

Пусть функции f(x) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и

пусть φ ′ (x) ≠ 0 в окрестности точки x_0→ существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ (x) теорему Коши для отрезка [x₀; x], лежащего в окрестности точки x₀, тогда

, где с лежит между x₀ и х.

х0 с х х

 

При x→ x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Формула Тейлора

Пусть ф-ция f(x) n+1 дифференцируема в окрестности точки а. Пусть х- любое значение аргумента из окресности точки а, а Р любое положит. число, тогда некоторая точка Кси, такая, что будет справедлива ф-ла:

f(x)=f(a)+f ‘(a)(x-a)+ ² + ⁿ + R_n+1(x) (1)

где R_n+1(x)=( ^p * f (Кси) (2)

2-называется остаточным членом в общем виде.

Достаточное условие возр (уб) ф-ии в точке

Ф-ия возр(уб) в точке С если найдется некоторая окрестность точки С в пределах которой f(x)< f(C) при x< C; f(x)> f(C) при x> C; f(x)> f(C) при x< C; f(x)< f(C) при x> C.

Теорема: Если ф-ия дифференцируема в точке С и производная в точке С> 0 (C< 0) то f(x) возр(уб) в точке С

Необходимое условие сущ локального экстремума дифференцируемой ф-ии:

Если ф-ия дифференц. в точке С и имеет в этой точке локальный экстремум то произ-ная в точке С = 0

Второе условие

Пусть ф-ция f(x) дважды дифферерцируема в точке С, тогда, если выполняется условие f’(c)=0, и вторая произ. в точке С f ’(c)> 0, то ф-ция f(x) имеет в точке С лок. минимум (максимум).

Асимптота графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+¥ (вида x=b)

2) y=kx+b, , y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥ пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®¥, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

 

 

1.

2.

3.

4.

1234Следующая ⇒

Поделиться: