Правилоа вычисления пределов

Пусть 2 функции f(x) и g(x) определены в некот окрестн точек а и b, то в этих точках существуют пределы и , тогда имеют место след ф-лы

;

Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции:

Пр.ф-число b наз пред f(x) в т.а, если для люб сход к а послед в знач аргумента x, элем кот = а соотв знач ф-и сходящейся к числу b.

БМ – (опр)- ф-ия наз БМ в точке х=а если пред ф-ии в этой точке = 0 т.е

ББ - (опр)- ф-ия наз ББ в точке а с права(слева) если для любой сход. к а посл x_n элементы которой x_n> 0(< 0) соответсвующие посл знач ф-ии явл ББ посл определенного знака.

 

Бесконечно-малые последовательности

Опр. Посл. наз. беск. малой если ее предел равен 0:

Беск больш-послед назыв б.б.для любого полож числа А если найдется N, что для всех членов посл, в кот n> N будет выполн неравенство (Xn)> A.n> N.если посл явл бб и нач снекот номера и все члены послед полож(отр), то в 1-м случае , а во 2-м

Теорема о бесконечно малых

Теорема: 1 если и беск. малые посл. тоих сумма явл беск малой

2. Произв беск малой посл на огранич явл беск малой т.е.

замечательный предел и др. замечательные пределы:

1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

С   М х   tgx   О cos x A B

 

 

Пусть 0 < X < π /2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

2 замечательный предел.

Пусть х→ ∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→ ∞, то n→ ∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

Непрерывность функции:

Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→ х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀

 

Классификация точек разрыва:

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:

- А₁=А₂ то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

- А₁≠ А₂ то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

|A₁ – A₂| называется скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

 

Производная геометрический смысл производной:

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента: lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx (Dx®0)

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` ( Dx®0)

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x², Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x ( x®0) (Dx®0)

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0 tgL₀=y

 

 

Правило вычисления произ-ных

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Производная обратной ф-ии

Если ф-ия y=f(x) монотонно возр.(уб.) некоторые окрестности точки x₀, то в окрест. точки y₀=f(x₀) опред. обратная функция x=f^-1(y)

Пусть функция y=f(x) монотонно возрастает (убывает) в окрестности точки x₀ и непрерывна, тогда если y=f(x) дифференцируема в точке x₀ и производная в точке x₀ не равна 0, то в окрестности точки y₀ существует обратная функция, которая дифференц. в точке y₀ и ее производная x’(y₀)=1/y’(x₀)

Производная сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`, или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: