Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1. Перпендикулярен векторам и .

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

3. Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

4.
Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.

 

 

Уравнение прямой на плоскости

Параметрическое ур-е прямой в векторном виде r = r₀ + ts,

Параметрическое ур-е прямой:

где n, m – координ. направл-его вектора S;

Каноническое уравнение прямой: (x-x0)/m=(y-y0)n

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: М₀(х₀, у₀)и M1(x1, y1):

(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)

Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b=1

2прямые:

перпендикулярность: s₁*s₂=0

параллельность: , где М₁ и М₂ – точки, принадлеж. прямым

совпадения: s₁//s₂//M₁M₂

пересечение: M₁M₂*s₁*s₂=0

скрещивающиеся: M₁M₂*s₁*s₂≠ 0

 

Уравнения плоскости

проходящей через точку М₀ и ┴ нормальному вектору n(A, B, C)

где a, b, c – величины направл-ых отрезков, отсекаемых плос-тью на осях Ox, Oy, Oz соответ.

Нормальное ур-ие плоскости

направляющие кос-сы норм. вектора n, напрвл. из начала координ. с сторону плос-ти, а p> 0 – рассто-ние от нач. координ. до плос-ти.

Угол между плос-тями:

Параболла

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная

Вывод канонического уравнения

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение. ( 2с – S между F).

 

Гиперболла

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение.

 

Пов-ти 2го порядка

общ. ур-ние: ax²+bx²+cz²+dxy+eyz+fxz

+gx+my+nz+r=0

 

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Эллипсоидом трёхосным вращения наз. поверхность, полученная вращением эллипса вокруг одной из его осей.

Эллипсоид отсекает на осях координат Ox, Oy, Oz отрезки 2а, 2b, 2c, которые наз. осями, a=OA, b=OB, c=OC-полуоси эллипсоида. Если , , , то поверхность наз. трёхосным эллипсоидом.

Одно- и двухполостным гиперболоидом

Эллиптический параболоид и гиперболический параболоид

Числовые последовательности Предел последовательности.

Ч.П-занумерованное множество чисел x1, x2, x3, …, xn.

{xn} xn=1/n

{1/n} 1, ½, 1/3, … 1/n

Постоянная а наз. пр. посл.(а_n), если для любого числа > 0 сущ. Такой номер N, что при всех n> N выполняется неравенство < .Число а называется пределом последовательности, если начиная с некоторого номера все члены окрестности будут принадлежать любой Е окрестности а—геометр. предел послед. Если послед. Имеет свои пределы числа a, то она сходится в точке а.

 

Св-ва пределов

1Пусть последовательность сходится и её предел=а, тогда Р-любое число Р< а, то начиная с некоторого номера все члены последовательности будут Xn> P, n> N

2Если предел последовательности> 0, то начиная с некоторого номера все пред будут> 0

3Сходящаяся последовательность ограничена

4Не любая огранич послед сходится -1, 1, -1, …0

5Сходящ послед имеет один предел

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: