Дифференцируемость функции.Дифференциал

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a; b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Теорема- для того чтобы ф-ия f(x) имела в точке а конечную производную необходимо и достаточно чтобы она была дифференцируема в этой точке.

Теорема Роля

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж [a, b] деффер. на интервале (a, b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a, b), такая, что f’(c)=0.(Т-ма Р явл частным случаем т-мы Лагр.)

 

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и дефференцирована на (a, b), то сущест.

т. с(a, b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹ 0.

Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a, b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a, b)

3). g’(x)¹ 0 на интер. (a, b), то сущ. т. с

g(b)¹ g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a, b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a, b)

3). F(a)=0; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ (a, b); F’(с)=0

Теорема Лопиталя.

Пусть функции f(x) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и

пусть φ ′ (x) ≠ 0 в окрестности точки x_0→ существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ (x) теорему Коши для отрезка [x₀; x], лежащего в окрестности точки x₀, тогда

, где с лежит между x₀ и х.

х0 с х х

 

При x→ x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Формула Тейлора

Пусть ф-ция f(x) n+1 дифференцируема в окрестности точки а. Пусть х- любое значение аргумента из окресности точки а, а Р любое положит. число, тогда некоторая точка Кси, такая, что будет справедлива ф-ла:

f(x)=f(a)+f ‘(a)(x-a)+ ² + ⁿ + R_n+1(x) (1)

где R_n+1(x)=( ^p * f (Кси) (2)

2-называется остаточным членом в общем виде.

Достаточное условие возр (уб) ф-ии в точке

Ф-ия возр(уб) в точке С если найдется некоторая окрестность точки С в пределах которой f(x)< f(C) при x< C; f(x)> f(C) при x> C; f(x)> f(C) при x< C; f(x)< f(C) при x> C.

Теорема: Если ф-ия дифференцируема в точке С и производная в точке С> 0 (C< 0) то f(x) возр(уб) в точке С

Необходимое условие сущ локального экстремума дифференцируемой ф-ии:

Если ф-ия дифференц. в точке С и имеет в этой точке локальный экстремум то произ-ная в точке С = 0

Первое достаточное условие существования локального экстремума дифференц. ф-ции.

Пусть ф-ция дифф. в нек-ой окр. т. С и выполняется услов. f’(c)=0, тогда если найдется нек-ая окрестность с, в пределе которой производная слева от точки с положительна (отрицац.), а справа от точки с отрицательна (полож), то ф-ция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум).

Второе условие

Пусть ф-ция f(x) дважды дифферерцируема в точке С, тогда, если выполняется условие f’(c)=0, и вторая произ. в точке С f ’(c)> 0, то ф-ция f(x) имеет в точке С лок. минимум (максимум).

Достаточное условие выпуклости графика

Пусть ф-ия f(x) дифференцируема на интервале (a, b), тогда в каждой этого интервала существует касательная и она не параллельна Оу.

(Опред.) Говорят что график f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость направленную вниз, вверх если график ф-ии в пределах данного интервала расположен не ниже(не выше) любой касательной.

(Теор) Если ф-ия дважды на интервале (a, b) и во всех точках этого интервала, вторая производная не отр.(не полож) f ‘’ (x)> =0; x (a, b) то график ф-ии имеет вид на интервале (a, b) выпуклость напр. вверх (вниз)

f ‘’(x)> =0 (< = ); x (a, b)

Ур-ие касат. имеет вид

Необходимое условие существования точки перегиба графика диф. функции

Пусть ф-ия f(x) имеет в т. С конечную вторую производную и т. М явл. т. перегиба графика ф-ции, тогда вторая производная в т. С=0.

 

Первое дост. условие существования точки перегиба графика диф. функции

Пусть ф-ия f(x) имеет в нек. Окр. т. С вторую производную и вторая производная в т. С=0,

Тогда если найдется нек. Окр. т. С в пределах которой слева и справа в т. С вторая производная имеет разные знаки, то т. М явл. точкой перегиба графика функции.

 

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: