|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Разложение многочлена на простые множители. Рациональные дроби.Стр 1 из 5Следующая ⇒
Реферат по
МАТЕМАТИКЕ
Выполнила: Студент 2 курса Мен-Д-Бак-2 Козлова Ксения
Электросталь 2012.
Содержание • Введение • Некоторые сведения из истории математики • Основные разделы курса высшей математики Векторная алгебра •. Теоретическая справка •. Примеры с решениями Аналитическая геометрия 2.1. Теоретическая справка Примеры с решениями Комплексные числа Разложение многочлена на простые множители. Рациональные дроби. 4.1. Теоретическая справка Примеры с решениями Линейная алгебра Матрицы и определители 5.1.1. Теоретическая справка Примеры с решениями Система линейных алгебраических уравнений 5.2.1. Теоретическая справка Примеры с решениями Дифференциальное исчисление 6.1. Теоретическая справка Примеры с решениями Интегральное исчисление 7.1. Теоретическая справка Примеры с решениями Дифференциальные уравнения 8.1. Теоретическая справка Примеры с решениями Ряды 9.1. Теоретическая справка Примеры с решениями IV. Заключение V. Литература
I. Введение
Матема́ тика (от др.-греч. μ ά θ η μ α — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы. Одно из первых определений предмета математики дал Декарт: К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики. В советское время классическим считалось определение из БСЭ, данное А. Н. Колмогоровым: Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Это определение Энгельса; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле. Формулировка Бурбаки: Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур. Приведём ещё несколько современных определений. Современная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов. Математика — наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований. Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики: Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.
III. Основные разделы курса высшей математики Векторная алгебра 1.1. Теоретическая справка Основные определения. Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. (Масса тела, объем, время и т.д.) Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором. (Перемещение, сила, скорость и т.д.) Обозначения: , или, . Геометрический вектор – это направленный отрезок. Для вектора – точка А – начало, точка В – конец вектора. Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB. Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается. Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными. Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю. Действия над векторами. Сложение векторов. Опр. 6. Суммой двух векторов и является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).
Опр. 7. Суммойтрех векторов, , называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда). Опр. 8. Если А, В, С – произвольные точки, то + = (правило треугольника). Свойства сложения. 1о. + = + (переместительный закон). 2о. + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (сочетательный закон). 3о. + (–) +. Вычитание векторов. Опр. 9. Под разностью векторов и понимают вектор = – такой, что + =. В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1). Умножение вектора на число. Опр. 10. Произведением вектора на скаляр k называется вектор = k = k, имеющий длину ka, и направление, которого: 1. совпадает с направлением вектора, если k > 0; 2. противоположно направлению вектора, если k < 0; 3. произвольно, если k = 0.
Свойства умножения вектора на число. 1о. (k + l) = k + l. k( + ) = k + k. 2o. k(l) = (kl). 3o. 1 =, (–1) = –, 0 =. Свойства векторов. Опр. 11. Два вектора и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Теорема 1. Два ненулевых вектора и коллинеарны, когда они пропорциональны т.е. = k, k – скаляр. Опр. 12. Три вектора, , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней. Теорема 2. Три ненулевых вектора, , компланарны, когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е. = k + l, k, l – скаляры. Проекция вектора на ось. Теорема 3. Проекция вектора на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е. = a c os , = (, l).
Скалярное произведение векторов. Определение: Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. =, - угол между векторами и. Свойства скалярного произведения: 1. = 2. ( + ) = 3. 4. 5. , где – скаляры. 6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если. 7. тогда и только тогда, когда. Скалярное произведение в координатной форме имеет вид:, где и.
Примеры с решениями Пример: Вычислить длину вектора. Решение: Пример: Найти скалярное произведение векторов и Решение: Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1). Решение: . , , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом: ,
Аналитическая геометрия 2.1. Теоретическая справка Полярные координаты Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).
Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и. Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида, где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам, называется главным. В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки). При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам , . В этом же случае формулы , являются формулами перехода от декартовых координат к полярным. При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми. Площадь треугольника Каковы бы ни были три точки A(; ), B(; ), C(; ), площадь S треугольника ABC дается формулой . Правая часть этой формулы равна +S в том случае, когда кратчайший поворот отрезка к отрезку положителен, и -S в том случае, когда такой поворот отрицателен. Преобразование координат Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами , . Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат). Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами , . Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей. Формулы , определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол. Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах. Функция двух переменных Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А - фиксированная точка плоскости, М - произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(m)=AM. Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М опеределяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y. Функция двух переменных x и yобозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x; y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примереf(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции: . Примеры с решениями Пример 1. Доказать свойство координат коллинеарных векторов Доказать свойство 3 координат вектора. Решение: Пусть b1= {x1, y1, z1} B, b2= {x2, y2, z2} B. b1 || b2 λ R, т.ч. b1= λ ∙ b2. < => x1=λ ∙ x2, y1=λ ∙ y2, z1=λ ∙ z2 < => λ =, если разрешить преобразовывать к нужному виду выражение 0= λ ∙ 0. Утверждение доказано. Пример 2. Найти вектор, выраженный через заданный Для данного вектора а найти вектор b, такой что а b, | b |=2∙ | a |; вектор с, такой что ас, | с |=| a |/4; вектор d, такой что a || d, | d |=3∙ | a |; вектор e, такой что ae, | e |=1.
Решение: b =2∙ a; c = a; вектор d находится неоднозначно: d1 a => d1 =3∙ a, d2a => d2 =-3∙ a; e = a.
Комплексные числа Ко́ мпле́ ксные чи́ сла — расширение поля вещественных чисел обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма, где и — вещественные числа, — мнимая единица. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других. Определения Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена. Стандартная модель Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел. Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
• • Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен, то есть Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно. Матричная модель Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать мнимой единице — Замечания Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению, так как число также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение, ранее часто использовавшееся вместо, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи: в то время как правильная запись приводит к иному ответу: Геометрическая модель
Геометрическое представление комплексного числа Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями. Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже. В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза». Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство. Связанные определения
Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части Пусть — комплексное число, где и — вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями. • Если, то называется мнимым или чисто мнимым числом. • Если, то является действительным (вещественным) числом. Модуль и аргумент Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат). Модуль комплексного числа обозначается и определяется выражением. Часто обозначается буквами или. Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа. Для любых имеют место следующие свойства модуля.: 1), причём тогда и только тогда, когда;; 2) (неравенство треугольника); 3); 4). Из третьего свойства следует, где. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем. 5) Для пары комплексных чисел и модуль их разности равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости. Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу, называется аргументом числа и обозначается. • Из этого определения следует, что; ; . • Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до, где — любое целое число. • Главным значением аргумента называется такое значение, что. Часто главное значение обозначается [4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: . Сопряжённые числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел Если комплексное число, то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком. Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства. • (сопряжённое к сопряжённому есть исходное). • • • • Обобщение: , где — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. • • Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа. Алгебраическая форма Запись комплексного числа в виде, , называется алгебраической формой комплексного числа. Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):
Примеры с решениями Пример. Разложить квадратный трехчлен на множители. Решение. Найдем корни квадратного уравнения
Пример. Разложить многочлен третьей степени на множители. Решение. Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
Найдем корни квадратного трехчлена Таким образом,
Рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида, коэффициент при старшей степени равен единице. В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена Пример. Разложить на множители выражение. Решение. Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18: . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:
То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения: Осталось разложить квадратный трехчлен Ответ: Замечание: вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен. Линейная алгебра Матрицы и определители 5.1.1. Теоретическая справка Матрицы Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами. Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n. Пример матрицы 4× 3: a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3 a 3, 1 a 3, 2 a 3, 3 a 4, 1 a 4, 2 a 4, 3 Определитель матрицы Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу. Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число: det(A)=
=
где M1, j - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1, j. Выражение det A =
Если вас пугает это формула, то она значит следующее: • Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n - порядок матрицы. • Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)1+k. • Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор - определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца. Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!! Умножение матриц Произведением матриц A размером m × n и матрицы B размера n × k называется матрица размера m × k, элементы которой определяются формулой ci, j = n a i, q · b q, j
∑
q=1
i=1, ..., m j=1, ..., k Произведение матриц записывается как C=A·B. Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!! Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C. Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B. Транспонирование матриц Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее... В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как AT. Обратная матрица Матрица A-1 - называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A-1 = A-1·A=E. Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0. Обратную матрицу находим следующим образом:
где Ai, j - алгебраические дополнения элементов матрицы A. Определители Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3! =6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i> j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего. Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени. Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 2, 2 1, 4 3. Подстановка называется четной (или нечетной ), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде, т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. Пусть нам дана квадратная матрица порядка n . (4.3) Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида: , (4.4) где индексы q 1, q 2,..., q n составляют некоторую перестановку из чисел Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или det A= (детерминант, или определитель, матрицы А). Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании. 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k. 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. 7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a i j = b j + c j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j, в другом - из элементов c j. 8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы. Минором M i j элемента a i j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента a i j определителя d называется его минор M i j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента a i j будем обозначать A i j. Таким образом, A i j = (-1) i + j M i j. Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема. Теорема (разложение определителя по строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = ) или j- го столбца d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ). В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение. Примеры с решениями Пример 1 Не вычисляя определителя, показать, что он равен нулю. Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель, равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель, в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю. Пример 2 Вычислить определитель D =, разложив его по элементам второго столбца. Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца: D = a 12 A 12 + a 22 A 22 +a 32 A 32 = . Пример 3 Вычислить определитель в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Решение. Разложим определитель А по первой строке: Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим: . И так далее. После n шагов придем к равенству A = а 11 а 22... a nn. Пример 4. Вычислить определитель. Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.
Матричная форма Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или: Здесь — это матрица системы, — столбец неизвестных, а — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной. Методы решения Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.
Описание метода Гаусса Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица называется основной матрицей системы, — столбцом свободных членов. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 309; Нарушение авторского права страницы