Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

 

где A, B, C — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: и. Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

 

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

• — Гиперболическое уравнение,

• — Эллиптическое уравнение,

• — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

В случае, когда все коэффициенты A, B, C — постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых — эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

 

оно также может быть расклассифицирована^[1] (в заданной точке ), по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

 

Невырожденным линейным преобразованием

 

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

 

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:

• Если в точке квадратичная форма в каноническом виде имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение в этой точке называется уравнением эллиптического типа.

• Если точке квадратичная форма в каноническом виде имеет коэффициенты различных знаков, но при этом все они отличны от 0, то уравнение в этой точке называется уравнением гиперболического типа.

• Если точке квадратичная форма в каноническом виде имеет хотя бы один коэффициент равный 0, то уравнение в этой точке называется уравнением параболического типа.

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

• Гиперболический тип может быть расклассифицирован на:

• Нормальный гиперболический тип, если один коэффициент одного знака, а остальные другого.

• Ультрагиперболический тип, если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.

• Параболический тип может быть расклассифицирован на:

• Эллиптически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.

• Гиперболически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:

• Нормальный гиперболически-параболический тип

• Ультрагиперболически-параболический тип

• Ультрапараболический тип, если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение^[2]. Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n) для уравнения Лапласа:

 

с начальными условиями:

 

 

где n — целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n, однако решением уравнения является

 

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно для любого ненулевого значения y. Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Примеры с решениями

Пример 1. Различные формы записи дифференциальных уравнений первого порядка.

 

xdy + (y - cosx)dx = 0

y' + 2y = e^x

Те же уравнения, записанные в нормальной форме.

 

y' = e^x - 2y

Пример 2. Проверка правильности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Покажем, что решение уравнения xdy + (y - cosx)dx = 0.
Для этого вычислим dy и подставим его в уравнение:

Пример 3. Интегральные кривые и графики решений дифференциальных уравнений.

На рисунках изображена интегральная кривая — график решения дифференциального уравнения xdy + (y - cosx)dx, проходящего через точку с координатами (p/2, 2/p), построенная в Mathcad и в ОДУ.

 

 

 

 

Ряды

9.1. Теоретическая справка

Числовые ряды

Частная (частичная) сумма ряда:

Сумма ряда:
(если предел существует).
Ряд сходится, если S конечно; тогда

Необходимое условие сходимости ряда:

Гармонический ряд
расходится; его частная сумма
Обобщенный гармонический ряд
сходится при a > 1 расходится при a< или = 1

Признаки сходимости для положительных рядов

Признак сравнения
Если 0 < a_k < b_k V k, то из сходимости ряда следует сходимость ряда,
а из расходимости ряда - расходимость ряда.

Предельный признак сравнения
Если то при l > 0 ряды и или оба сходятся, или оба расходятся.
Признак Д'Аламбера
Если то при 0 ≤ q < 1 ряд сходится, при q > 0 расходится.
Интегральный признак
Если f убывает на (1; +∞ ) и неотрицательна, то ряд сходится или расходится вместе с интегралом

Примеры с решениями

Пример 1Записать первые три члена ряда

Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала, тогда:
Затем, тогда:
Потом, тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Пример 2Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала, потом и. В итоге:
Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , . Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

 

IV. Заключение

В заключении подведем основные итоги реферата. Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки. Математику можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считается всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Задача математики состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математического аппарата, то есть формально-логическим способом. Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она является всеобщей научной дисциплиной. Функции математики в равной мере являются функциями гуманитарными, поскольку направлены на совершенствование материальной и духовной сфер человеческого бытия. При изучении математики осуществляется развитие интеллекта, обогащение его методами отбора и анализа информации. Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Одновременно воспитываются волевые качества личности, без которых невозможно овладение научной теорией, формируются навыки самостоятельной исследовательской работы, наконец, воспитывается интеллектуальная честность, которая не позволяет оперировать сомнительными, не доказанными со всей необходимой строгостью фактами. Причем это относится не только к решению математических задач, но и к другим областям человеческой деятельности, в том числе и к анализу явлений общественно-политической жизни. Математическое образование из внешнего по отношению к ученику процесса обучения трансформируется в собственно познавательный процесс. Только совместные действия этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки. Учитывая внутреннее логическое единство математики, органическую взаимосвязь ее частей, важнейшим требованием к организации ее преподавания должны стать последовательность и преемственность в обучении, видение на всех его этапах основной цели. Таким образом, математика своими специфическими средствами способствует решению целого комплекса гуманитарных задач и имеет большое значение в жизни общества. Нет сомнений, что математика и математический стиль мышления совершают сейчас триумфальный марш как в науке, так и в ее применениях. Учащиеся, студенты должны в какой-то мере почувствовать это и относиться к математике с большим интересом, увлечением и пониманием необходимости математических знаний, как для будущей их деятельности, так и для жизни человеческого общества

 

V. Литература

• Материалы лекционно-семинарских занятий

• Жукова Г.С. математика часть 1; 2

• http: //ru.wikipedia.org/wiki

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: