Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.
В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на. У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

• Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид.
Очевидно, что корнем такого многочлена является, то есть многочлен представим в виде
Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки.

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители. Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы. Но, как бы нам не хотелось, некоторые многочлены (а точнее подавляющее большинство) так и не получится представить в виде произведения. Способ группировки. Иногда получается сгруппировать слагаемые многочлена, что позволяет найти общий множитель и вынести его за скобки.

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители.

Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители.
К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля для коэффициентов бинома Ньютона.

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители.

Часто замена переменной позволяет понизить степень многочлена и разложить его на множители.

Примеры с решениями

Пример. Разложить квадратный трехчлен на множители.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения
Дискриминант уравнения равен, следовательно,

Таким образом, Для проверки можно раскрыть скобки: При проверке пришли к исходному трехчлену, поэтому разложение выполнено верно.

Пример. Разложить многочлен третьей степени на множители.

Решение. Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

 

Найдем корни квадратного трехчлена

Таким образом,

 

Рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида, коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена

Пример. Разложить на множители выражение.

Решение. Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18: . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

 

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен
Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

Ответ:

Замечание: вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
Рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида, причем коэффициент при старшей степени не равен единице. В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Линейная алгебра

Матрицы и определители

5.1.1. Теоретическая справка

Матрицы

Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами.

Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Пример матрицы 4× 3:

a _{1, 1}

a _{1, 2}

a _{1, 3}

a _{2, 1}

a _{2, 2}

a _{2, 3}

a _{3, 1}

a _{3, 2}

a _{3, 3}

a _{4, 1}

a _{4, 2}

a _{4, 3}

Определитель матрицы

Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу.

Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы.

Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число:

det(A)=

 

=

 

где M_{1, j} - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a_{1, j}.

Выражение

det A =

 

называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) ^j+1 M_{1, j} называется алгебраическим дополнением элемента a_{1, j}.

Если вас пугает это формула, то она значит следующее:

• Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n - порядок матрицы.

• Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)^1+k.

• Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор - определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца.

Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!!

Умножение матриц

Произведением матриц A размером m × n и матрицы B размера n × k называется матрица размера m × k, элементы которой определяются формулой

c_{i, j} =

n

a _{i, q} · b _{q, j}

 

∑

 

 

q=1

 

i=1, ..., m

j=1, ..., k

Произведение матриц записывается как C=A·B.

Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!!

Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C.

Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B.

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...

В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как A^T.

Обратная матрица

Матрица A^-1 - называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A^-1 = A^-1·A=E.

Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0.

Обратную матрицу находим следующим образом:

 

 

где A_{i, j} - алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Определители

Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3! =6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i> j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1   2, 2   1, 4   3. Подстановка называется четной (или нечетной ), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде, т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

. (4.3)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (4.4)

где индексы q ₁, q ₂,..., q _n составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1) ^q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или det A= (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a _{i j} = b _j + c _j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b _j, в другом - из элементов c _j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M _{i j} элемента a _{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a _{i j} определителя d называется его минор M _{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a _{i j} будем обозначать A _{i j}. Таким образом, A _{i j} = (-1) ^{i + j} M _{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a _{i 1} A _{i 1} + a _{i 2} A _{i 2} +... + a _{i n} A _{i n} (i = )

или j- го столбца

d = a _{1 j} A _{1 j} + a _{2 j} A _{2 j} +... + a _{n j} A _{n j} (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Примеры с решениями

Пример 1 Не вычисляя определителя, показать, что он равен нулю. Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель, равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель, в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 2 Вычислить определитель D =, разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a ₁₂ A ₁₂ + a ₂₂ A ₂₂ +a ₃₂ A ₃₂ =

.

Пример 3 Вычислить определитель

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

.

И так далее. После n шагов придем к равенству A = а ₁₁ а _22... a _nn.

Пример 4. Вычислить определитель.

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: