Методика ознакомления учащихся с умножением и его свойствами.

Теоретико-множественная трактовка определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается подсчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника разбитого на квадраты (это может быть клетчатая часть доски). Они, естественно, начинают действовать способом по единичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти более простой путь поиска ответа.

Аналогичный пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты), нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11 +11 + 11 + 11). После этого учитель вводит новую запись 11 4 = 44 и предлагает учащимся составить эти две записи. Выясняется: что обозначает во втором равенстве первый множитель и второй множитель. Это помогает детям лучше усвоить чтение выражение вида: 11 * 4, 7 * 6, 28 * 4. (57 ВЗЯТЬ 3 РАЗА, 57 ПОВТОРОИТЬ 3 РАЗА, 57 УМНОЖИТЬ НА 3)

Для усвоения смысла умножения полезно использовать приемы сравнения, выбора, преобразования, предлагая различные виды заданий:

a) на соотнесения рисунка и математической записи (прочитай записанные под рисунками выражения и догадайся, что обозначают в каждом произведении первый и второй множители)

b) на выбор рисунка, соответствующего данной записи

c) на преобразование рисунка в соответствии с математической записью (Какие изменения нужно внести в другие рисунки, чтобы они соответствовали записи 2*6) и т.д.

В курсе математики начальных классов нашли отражение все сво-ва умножения: коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное.

Коммутативность умножения представлена в учебниках как переместительное свойство: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. При знакомстве с этим свойством умножения учащиеся выполняют задания на соотнесение рисунка с математической записью и на сравнение числовых выражений, в которых представлены множители. Многие уч-ся путают, что означают первый и второй множители в записи произведения. Тут полезно предлагать упр на выполнение рисунков, соотв конкр ситуации. Например: «На каждую тарелку положили по 2 яблока. Покажи, сколько яблок на шести тарелках. Многие напишут 2*6=12. Сразу же стоит выяснить, можно ли к данному рисунку выполнить такую запись: 6*2=12? При обсуждении предлагается заменить произведение суммой и найти рез-т. Выясняется, что обозначают в данном случае числа 6, 2 и 12. Делается вывод, что 6*2 к данной ситуации не подходит. Учитель предлагает иначе разложить яблоки на тарелки, в соотв с записью 6*2=12. Отсюда делается вывод, что переместительное сво-во умн справедливо только для числовых выражений. Если же речь идет о предметной ситуации, то необходимо учитывать, что обозначает число в записи произведения.

Введение сочетат. сво-ва позволяет познакомить уча-ся с новыми вычислит навыками, с пом которых они смогут находить рац способы вычислений. Может изучаться как во втором, так и в третьем классе. В М3М учащимся предлагаются образцы различных способов вычислений. Анализируя их, дети приходят к выводу, что умножать число на произведение можно тремя разными способами.

Пример задания: рассмотри разные способы умножения числа 7 на произведение чисел 4 и 2. Сравни рез-ты.

а) 7*(4*2)=7*8=56

б) 7*(4*2)=(7*4)*2=28*2=56

в) 7*(4*2)=(7*2)*4=14*4=56

С сочет сво-ом можно познакомить сразу после составления таблиц умножения. Если изучение трехзначных чисел предшествует теме «Умножение», то, познакомив уч-ся с правилом умножения на 10, можно использовать сочет сво-во при умножении однозначных чисел на разрядные десятки: 4*90=4*(9*10)=(4*9)*10=36*10=360

В уч М2И при знакомстве с сочет сво-ом используется соотнесение рисунка с математической записью.

Примеры заданий:

-Объясни, что обозначают числовые равенства под каждым рисунком

- Можно ли утверждать, что значения выражений в столбике одинаковы:

8*(4*6)

8*24

(8*4)*6

32*6

6*32

Далее делается вывод - ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ СОСЕДНИХ МНОЖИТЕЛЕЙ МОЖНО ЗАМЕНИТЬ ЕГО ЗНАЧЕНИЕМ.Возможен вариант, когда термин «распределительное сво-во » не вводится, а рассматриваются два правила: a) умножение суммы на число б)умножение числа на сумму

Изучение этих правил разведено во времени, т.к. первое правило лежит в основе вычислительного приема умножения двузначного числа на однозначное (в пределах 100), а второе правило вводится для разъяснения способа действия при умножении двузначного числа на однозначное «в столбик».

Для усвоения правила умножения суммы на число в учебнике М2М предложены задания:

• Три группы детей сделали к празднику каждая по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети? Рассмотри два способа решения этой задачи и объясни каждый из них.

Первый способ: Второй способ:

(6+4)*3=10*3=30 6*3+4*3=18+12=30

• Реши двумя способами: (5+2)*9

Сначала, как указано, вычисли сумму, а потом умножь ее на число. Умножь на число каждое из слагаемых и полученные рез-ты сложи. Сравни ответы.

 

При изучении правила умножения числа на сумму в учебнике М3М дается рисунок и 2 записи:

 

1) 3*(6+2)=3*8=24

2) 3*(6+2)=3*6+3*2=18+6=24

Учащимся предлагается объяснить по рисунку и записям, как можно умножить число 3 на сумму чисел 6 и 2.

Возможен вариант, когда уча-ся знакомятся с названием сво-ва и усваивают его сод-ие в процессе выполнения различных заданий. У М2И задание: Догадайся! Что обозначают выражения, записанные под каждым рисунком? Чем они похожи? Чем отличаются? Вычисли их значения. и т.д. Затем вdодится правило: ПРИ УМНОЖЕНИИ СУММЫ НА ЧИСЛО МОЖНО КАЖДОЕ СЛАГАЕМОЕ УМНОЖИТЬ НА ЭТО ЧИСЛО И ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗ-ТЫ СЛОЖИТЬ.

 

Отношения «больше в… раза», «меньше в… раза» и их связь с умножением и делением

 

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть смысл отношений " больше в" и " меньше в ", с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач. Пусть дано множество А, в котором 6 элементов, и множество В, содержащее 2 элемента: А n(A) = 6, n(B) = 3: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {a, d}.

Выделим в множестве А подмножества, равномощные множеству В: А 1 = {1, 2}, A 2 = {3, 4}, A 3 = {5, 6} Их оказывается три.

В этом случае говорят, что число 6 больше числа 2 в 3 раза, а число 2 меньше 6 в 3 раза.

 

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если a: b=c, то можно говорить, что " a больше b в c раз" или, что " b меньше a в c раз".

Если даны числа a и b такие, что n(A) = a, n(B) = b, a> b, и множество А можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше числа b в с раз, а число b меньше числа а в с раз.

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, необходимо большее число разделить на меньшее.

Так как c-это число подмножеств в разбиении множества B, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве-a элементов, то c=b: a. Теоретико-множественным смыслом отношения " a больше (меньше) b в с раз" можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач.

 

Пример: " На участке 3 грядки моркови, грядок картошки в 2 раза больше. Сколько грядок картошки на участке? "

В задаче идет речь о двух множествах: множестве грядок моркови (А) и множестве грядок картошки (В). Известно, что n(A)=3, и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, то есть n(В).

Так как во множестве В элементов в 2 раза больше, чем во множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А. Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего во множестве В будет 3+3 или 3•2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке 6 грядок картошки.

Пример: Объясните смысл предложения «10 больше 5 в 2 раза».

Решение. Если предположить, что в множестве С 10 элементов, а в множестве К 5 элементов, и в множестве С можно выделить подмножества, равномощные К, то таких подмножеств окажется 2.Значит, 10 больше 5 в 2 раза.

Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Важно разъяснить детям, что запись 2 • 5 можно прочитать: «2 повторить 5 раз», «по 2 взять 5 раз», «2 умножить на 5», «2 увеличь в 5 раз». В различных программах математики этот вопрос решается по-разному.

 

В учебнике М2М вводится понятие «больше в» и «меньше в» одновременно. Это можно сделать только после того, как дети познакомятся с делением. Работа над усвоением смысла умножения и понятием «больше в» значительно разведена во времени. Для введения понятия «больше в», «меньше в» используется комментирование рисунка. Например, к рисунку дано пояснение: «Квадратов – 3, кружков – 4 раза по 3. Кружков в 4 раза больше, чем квадратов, а квадратов в 4 раза меньше, чем кружков». Потом учащиеся выполняют задание: Сделай рисунок и реши задачу: «Для детей детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили? ». Последующая работа по усвоению понятий «больше в», «меньше в» связана с решением простых задач на предметном уровне. Для того чтобы дети не путали понятие «больше в», «меньше в», им предлагается задание: " Сделай рисунок и реши задачу:

1. Сережа вырезал 4 красных квадрата, а синих в 3 раза >, чем красных. Сколько синих квадратов вырезал Сережа?

2. Зина вырезала 4 красных квадрата, а синих на 3 квадрата >, чем красных. Сколько синих квадратов вырезала Зина? "

 

Формирование представлений о смысле деления связано с введением понятий " уменьшить в несколько раз" (" меньше в" ) и " кратное сравнение" (" во сколько раз меньше? ", " во сколько раз больше? " ). Для усвоения также используются действия с предметными множествами. Однако деятельность учащихся может быть организованна по-разному. При одном подходе (М3М)дается образец действия. Предлагается рисунок и комментируется так: " В 1-ом ряду 8 кружков, а во втором в 4 раза меньше. Чтобы получить в 4 раза меньше кружков, чем 8, разделили 8 кружков на 4 равные части и взяли столько, сколько их в одной части. Сколько кружков положили во второй ряд? "

 

При другом подходе (М3И) учащимся предлагается два рисунка, которые они должны сравнить, ответив на вопросы: " Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево?

Ответы: «Слева 3 круга, а справа 3 круга повторили 4 раза». Этот ответ соотносится с 3 • 4, т.е. данная запись отражает те изменения, которые произошли с левым рисунком «Справа на 9 кругов больше, чем слева». Это высказывание соотносится с 3 + 9, которое учащиеся связываю с понятием, «увеличить на». Возникает вопрос, как увеличиться 3, если его повторить 4 раза. Говорят, что 3 увеличили в 4 раза. Далее учащиеся высказывают предположение о том, что выражение 12: 4 связано с понятием " уменьшения в". Для обоснования этого предположения они используют рисунок. Справа 12 кругов. Если разделить их на 4 равные части, то в каждой части получим в 4 раза меньше.

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: