Тригонометрические функции. Свойства и графики.

Функции:

1. Область определения
2. Множество значений
3.Периодичность	Все тригонометрические функции периодические с наименьшим положительным периодом
4. Четность	Нечетная	Четная	Нечетная
5. Нули функции	при	при	при
Интервалы знакопостоянства	для	для	для
	для	для	для
Обратная функция	y=arcsinx	y=arccosx	y=arctgx

 

 

17) Обратные тригонометрические функции.

Функция y=arcsin x

Арксинусом числа m называется такой угол x, , для которого sinx=m,

arcsin 0=0^o

arcsin ( 1)= 90^o=

arcsin ( )= 30^o=

arcsin ( )= 45^o=

arcsin( )= 60^o=

Функция y=arccosx

Арккосинусом числа m называется такой угол x, , для которого cosx=m,

arccos 0=90^o=

arccos 1=0^o

arccos =60^o

arccos =45^o=

 

arccos =30^o=

arccos (-1)=180^o=

arccos ( )= 180^o-60^o=120^o=

 

arccos ( )=180^o-45^o=135^o=

Функция y=arctgx

Арктангенсом числа т называется такой угол х, , для которого tgx=m

arctg 0=0^o

arctg 1=

arctg =

arctg =

 

arctg (-1)=

arctg ( )=

arctg ( )=

 

Функция y=arcctgx

Арккотангенсом числа т называется такой угол х, , для которого сtgx=m

arcctg 0=

arcctg 1=

arcctg =

arcctg =

 

arcctg (-1)= =

arcctg ( )= =

 

arcctg ( )= - =

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся следующие:

где x – неизвестная величина, a – постоянная (известное число).

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Обращаем внимание на то, что уравнения для tg x и ctg x имеют решения при любом значении a R, а уравнения для sin x и cos x – лишь при a [–1, 1].

Методы решения тригонометрических уравнений.

I Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Схема решения.

1). Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

2). Найти аргумент функции по формулам:

3). Найти неизвестную переменную.

Пример.

Решение.

1). ;

2). ;

 

3).

Ответ: .

II Замена переменной

Схема решения.

1). Привести уравнение к алгебраическому относительно одной из тригонометрических функций.

2). Обозначить полученную функцию переменной t

(ели необходимо, ввести ограничения на t)

3). Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

 

4). Сделать обратную замену.

5). Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

 

Пример.

Решение.

1).

;

2). Пусть .

3). ;

4).

5).

Ответ:

III Метод понижения порядка уравнения.

Схема решения.

1). Заменить данное уравнение линейным, используя формулы понижения степени:

2). Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

Пример.

Решение.

1).

2).

Ответ:

IV Однородные уравнения.

Схема решения.

1) Привести уравнение к виду

или

2). Разделить обе части

уравнения на

^а) и получить уравнение относительно :

3). Решить уравнение известными способами.

Пример.

Решение.

1).

2).

3). Пусть , тогда

Ответ:

V Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул.

Схема решения.

1). Используя тригонометрические формулы, привести уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

2). Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

Решение.

1). ;

2). ;

Ответ:

 

Простейшие тригонометрические неравенства.

sin x≥ a или sin x≤ a;

cos x≥ a или cos x≤ a;

tg x≥ b или tg x≤ b;

ctg x≥ b или ctg x≤ b; │ a│ ≤ 1; b? R;

Предел функции. Теоремы о пределах.

 

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

1. Разложить на множители

2. Умножение на сопряженное

 

Вычисление 1 и 2 замечательных пределов.

 

Непрерывность функции. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

Функция F(x)-непрерывна в данной точке x(o), если ее предел в точке х(о) существ., и равен значению функции в этой точке

Lim F(x)= F(x₀)

x→ x₀

Свойства: Если функции F₁(x) и F₂(x) непрерывны в точке А:

1) их сумма, разность и произведение есть функция непрерывная.

2) Частное. F₁(x)/F₂(x) есть непрерывная функция при условии F₂(х)≠ 0

Функция F(x)- непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Если в каких либо точках интервала, функция не является непрерывной, то такие точки называют ТОЧКАМИ РАЗРЫВА.

Производная функции и ее применение.

Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении х к х₀. Производная функции в точке х₀ обозначается символом .

Производная функции и сама является функцией - она определяется значением в точке . Эта функция обозначается символом или .

Задачи, производящие к понятию производной.

 

Определение производной.

Производная— функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: