|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Производные обратных тригонометрических функций. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
II семестр
Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых
Теорема Лагранжа: Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того, что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; b), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (b; f (b)).
Рассмотрим прямую l, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; b]. Будем перемещать эту прямую l по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение l0 этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика.
Достаточные признаки возрастания и убывания функции:
Определение. Функция у=f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке х=х0, если f(x0) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности этой точки.
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢ (x) > 0 (f ¢ (x) < 0). Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x0, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(x0) (f(x) ³ f(x0)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢ (x0) = 0, либо f ¢ (x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. По 1-ой производной: Пусть x0 - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет. Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢ (x0) = 0, либо f ¢ (x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Выпуклость функции, точки перегиба Хорда, соединяющая точки M1(x1, f(x1)), M2(x2, f(x2)) графика функции f(x) задается функцией y=L(x, x1, x2 ) = f(x1) + f(x2) (*) Это проверяется подстановкой координат x1, x2 в правую часть. Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a, b], если для " x1< x< x2 из [a, b] L(x, x1, x2 ) = f(x1)
Если f непрерывна на [a, b], дважды дифференцируема на (a, b) и f¢ ¢ (x)> 0 на (a, b), то f строго выпукла вниз. Доказательство. " a£ x1< x< x2£ b имеем f(x) - L(x, x1, x2 )=f(x) - Определение. Точка x0 называется точкой перегиба функции f, если в точке x0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x0 график f лежит по разные стороны от касательной.
Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений. Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.
Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]: 1.Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках. 2.Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b. 3.Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
1 a.Найти ОДЗ и точки разрыва функции. b.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 2.Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. 3.Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. 4.Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные. 5.На основании проведенного исследования построить график функции.
Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x). Пример: 1.Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1). Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).
Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
Примеры плоских фигур
Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A, B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B, A) или (B, -A) называется направляющим вектором.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
Параметрические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
Каноническое уравнение прямой Каноническое уравнение получается из параметрических уравнений делением одного уравнения на другое:
Общее уравнение Ax + By + C ( Вектор Частные случаи: 1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox; 2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy; 3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат; 4) y = 0 - ось Ox; 5) x = 0 - ось Oy.
Условие параллельности прямых: k1 = k2. Условие перпендикулярности прямых: k1·k2 = − 1.
Углом между пересекающимися прямыми на плоскости, называется градусная мера наименьшего из углов, образованных при пересечении этих прямых. Угол между совпадающими или параллельными прямыми считается равным нулю. Угол α между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 (первая прямая) и y=k2x+b2 (вторая прямая), может быть вычислен по формуле (угол отсчитывается от 1й прямой ко 2й против часовой стрелки): tg(α )=(k2-k1)/(1+k1k2)
Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
а) прямая лежит в плоскости; б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку; в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Параллельность плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Свойства параллельных плоскостей:
Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
Признаки параллельности прямой и плоскости: 1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости. 2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Признаки параллельности плоскостей: 1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости: 1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Наклонная к плоскости. Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной. Признаки параллельности прямых в пространстве: 1) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. 2) Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая --- ребром двугранного угла.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Виды призм: Прямая призма — призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию, в противном случае призма называется наклонной. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или высоту). В прямой призме боковые ребра являются высотами. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро. Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. Боковые ребра правильной призмы равны. Правильная призма является прямой. Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Площадь боковой поверхности произвольной призмы
Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.
Объем призмы: V = Sоснов • H Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V= SH= abc
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле
Цили́ ндр (др.-греч. κ ύ λ ι ν δ ρ ο ς — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник. Осевым сечением называется сечение, которое проходит через ось цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту: S=2π rh Полная площадь поверхности цилиндра: S= 2π r(h+ r)
Сечение цилиндра.
Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Площадь конуса:
Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Площадь поверхности усеченного конуса: S=π (r12+(r1+ r2) l+ r22)
Шар — это тело ограниченное шаровой поверхностью. Сфера (греч. σ φ α ῖ ρ α — шар) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Площадь сферы: Площадь сферической части поверхности шарового сектора:
Объем:
Конус:
Усеченный конус (рис. 1.20)
Объем: Объем шарового сегмента: Объем шарового сектора:
Свойства: · Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. · Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. · Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны. · Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 666; Нарушение авторского права страницы
и 
выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
и 
выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Из рис.1 видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой l0 с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f’(c)=tg α, где α — угол между прямой l0 и осью абсцисс. Но l||АВ, поэтому угол α равен углу наклона секущей АВ, т. е. 
Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка c∈ (а; b) (рис. 2), что 
.
, где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.
или 
Основные табличные интегралы.
Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл 
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).
и 
или в общем виде 
где t — производный параметр, ax, ay — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом
где 
— координаты Х и Y направляющего вектора прямой, 
и 
координаты точки, принадлежащей прямой.
> 0).
= (А; В) - нормальный вектор прямой.
; 
Взаимное расположение прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости: 
и 
обозначается так: 
. Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
, где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.
Пирами́ да (др.-греч. π υ ρ α μ ί ς, род. п. π υ ρ α μ ί δ ο ς ) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
где S – площадь основания, H – высота пирамиды.
где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.
Конус (рис. 1.19). Усеченный конус. Площадь поверхности конуса и усеченного конуса.
, где H – высота сегмента.
Цили́ ндр (др.-греч. κ ύ λ ι ν δ ρ ο ς — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
Усеченный конус: V=1/3π h(r2+r1·r2+r22)
Параллелепи́ пед (от греч. π α ρ ά λ λ ο ς — параллельный и греч. ε π ι π ε δ ο ν — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.