Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Продуктивные модели Леонтьева
Матрица А все элементы которой неотрицательны называется продуктивной если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения баланса причем все элементы вектора Х > 0. В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной. Существует математическая теория исследования и решения уравнения баланса. Не вдаваясь в подробности, остановимся на некоторых основных моментах. Теорема. Если для матрицы А с положительными элементами и вектора Y с положительными компонентами уравнение баланса имеет решение Х с положительными компонентами, то А – продуктивна. Иными словами достаточно установить наличие положительного решения уравнения баланса хотя бы для одного значения вектора Y, чтобы матрица А была продуктивна. Перепишем уравнение баланса с использованием единичной матрицы в виде: Если существует обратная матрица (Е –А)-1, то существует и единственное решение этого уравнения. (1) Матрица (Е –А)-1 – называется матрицей полных затрат. Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что А продуктивна, если сумма её элементов по любому её столбцу (строк) не превосходит единицы:
и существует номер j, что
Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S = (Е –А)-1, для чего зададимся единичными векторами конечного продукта Y1(1, 0, 0, 0…0), Y2(0, 1…0),..Yn(0, …1) тогда по (1) соответствующие вектора валового продукта будут: , , Следовательно, каждый элемент Sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отросли Yj = 1 (j = 1, n).
III. Элементы векторной алгебры Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными . Примерами являются: длинна, площадь объем, работа, масса. Величины, которые определяются не только своим численным значением, но и направлением называются векторами, пример – скорость, сила. Определение. Направленный отрезок, на котором задано начало, конец и направление называется вектором. Если А и В – начало и конец, то вектор можно обозначить или . А B Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной. 1. Векторы и называют коллинеарными , если они лежат на одной или параллельных прямых. 2. Векторы и называют равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны. В любой системе координат вектор можно охарактеризовать своими координатами =(x, y, z). Пусть в системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2). Тогда координаты этого вектора определяются формулой: x = x2 - x1, y = y2-y1, z = z2-z1.
Длина вектора – модуль вектора:
Нулевой вектор (000). Нулевой длины.
Операции над векторами Пусть даны два вектора =(a1, a2, a3) и =(b1, b2, b3) 1. Сложение. Суммой векторов и называется третий вектор =(с1, с2, с3) координаты которого равны сумме соответствующих координат a и b c1 =a1+b1, c2=a2+b2, c3=a3+b3 . 2. Произведение. Произведение вектора a ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор λ , координаты которого соответственно равны λ a1, λ a2, λ a3. Можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда = + будет направлен от начала первого к концу второго (рис. 1).
3. Вычитание. Под разностью векторов и понимается вектор такой, что .
Через координаты разность векторов и будет равна вектору , причем ; ; . Т.е.
4. Основные свойства линейных операций. 1. + = + 2.( + )+ = +( + ) 3. λ ·( α · )=(λ · )·α 4.(α +λ )· =α · +λ · 5.λ ·( + )=λ · +λ · Пусть даны два вектора =(a1, a2, a3) и =(b1, b2, b3) из определений коллинеарности и произведения вектора на число следует, что a и b коллинеарны в том и только в том случае если их координаты пропорциональны - условие коллинеарности векторов 5. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов и называют число равное · = · ·cosα (1), где a - угол между и . Скалярное произведение можно выразить через их координаты следующим образом: пусть даны =(a1, а2, а3) и =(b1, b2, b3).Тогда, · (2) (все смешанные произведения = 0).Сопоставляя (1) и (2) получим:
;
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: 1). · = · ; 2). ( ·λ )· =( · )·λ 3). ·( + )= + 4). =| |2 5). · =0 если вектор перпендикулярен вектору . 6. Векторное произведение векторов. Векторным произведением вектора на называется вектор с, который а.) перпендикулярен векторам и т.е. ┴ и ┴ . b.) имеет длину численно равную площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах (рис.2), т.е. |с| = |а|·|b|·sinφ, где φ =(a^b). с.) Векторы и должны образовывать правую тройку (три вектора образуют правую тройку векторов, если с конца третьего вектора с кротчайший поворот от первого а, ко второму b , виден совершающимся против часовой стрелки, и левую если по часовой). Векторное произведение обозначается × = или [ ]= Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами: 1. × = − ( × )
Векторное произведение можно выразить через координаты: × = = = Где , , – единичные орты, направленные вдоль осей координат Это легко доказывается (делать этого не будем). 7. Смешанное произведение векторов.
= × . (рис. 4)
Имеем ,
Где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а – высота параллелепипеда, тогда .Знак «+» если эти вектора образуют правую тройку и знак «–» если левую, где - объем параллелепипеда. Свойства смешанного произведения: 1) 2) 3) 4)(axb)c=-(bxa)c и т.д. Выражение смешанного произведения через координаты: ; Без доказательства.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 459; Нарушение авторского права страницы