Ортогональность собственных векторов.

Теорема: собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимно ортогональны.

Пусть векторы и - собственные векторы оператора соответствующие собственным числам λ ₁ и λ ₂, причем λ ₁≠ λ ₂ . По определению симметричного оператора:

. Подставляя сюда и получим . Вынесем λ ₁ и λ ₂ за знак скалярного произведения, перенесем все влево и разложим на множители и получим , так как λ ₁≠ λ ₂, то =0, что означает взаимную ортогональность векторов и .

 

 

Квадратичные формы.

Пусть L=( )- симметричная матрица n-го порядка, тогда выражение -называется квадратичной формой переменных x₁, x₂...x_n. Матрица L=( _ij) i, j=(1, 2...n) -называется матрицей квадратичной формы. Пусть( ) –симметричная матрица, т.е. = . В матричной форме квадратичная форма имеет вид:

 

 

, где X= -матрица столбец переменных, а = - матрица строка этих же переменных. Найдем произведение этих матриц.

-что является по определению квадратичной формой.

 

 

Канонический вид квадратичной формы

Следует отметить, что с помощью некоторых линейных преобразований квадратичную форму можно привести к наиболее простому каноническому виду. Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты при i ≠ j, т.е.

матрица канонической квадратичной формы является диагональной.

 

 

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью линейных преобразований может быть приведена к каноническому виду.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из них - закон инерции квадратичных форм формулируется в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

IV Аналитическая геометрия на плоскости.

Система координат. Основные понятия.

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат. Она задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми - осями, на каждой из которых выбрано направление и задан масштабный единичный отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковую для обеих осей. Эти оси называются осями координат, а точка их пересечения – О- началом координат. Одна ось- ось абсцисс (Оx), вторая- ординат (Оy).

На рисунках ось абсцисс, как правило, располагается горизонтально и слева направо, ось ординат вертикально и снизу вверх. Единичные векторы осей обозначают i и j (|i|=|j|=1, i перпенд. j ).

Рассмотрим произвольную точку М на плоскости Оxy. Вектор называется радиусом вектора. Координатами точки М называются координаты радиуса вектора ОМ. Если ОМ = (x, y), то координаты т.М(x, y). Другой важной системой координат является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О называемой полюсом, лучом Оp называемом полярной осью и единичным вектором того же направления, что и луч Оp.

Возьмем точку М не совпадающую с О. Положение т.М определяется двумя числами ее расстоянием rот полюса О и углом образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении противоположном движению часовой стрелки. Числа r и φ называются полярными координатами т.М (r, ), r – полярный радиус, - полярный угол.

Установим связь между декартовыми и полярными координатами. Для этого совместим полюс с системой координат Оxy, а полярную ось с + полуосью Ox. Тогда т.М в прямоугольной системе М( x, y), а в полярном M(r, φ ).тогда из рисунка 1

y M(x, y)

r

или y

Рис.1

O Xx

1) Линия на плоскости(основные понятия)

Уравнение линии(кривой) на плоскости Oxy называют такое уравнение F(x, y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки не лежащей на этой линии. Если точка M(x, y) передвигается по линии, то ее координаты изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии.

Пример: лежат ли точки А(-2, 1) и В(1, 1) на линии 2x+y+3=0.

Решение. Подставляя в уравнение вместо x и y координаты точек А и В получим в первом тождество во втором нет. Следовательно т. А лежит на линии, т.В- нет.

Уравнение линии на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

Где x и y- координаты т.М(x, y), лежащей на данной линии, а t-переменная называемая параметром. Параметр t определяет положение точки (x, y) на плоскости. Если параметр t меняется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такое уравнение называется параметрическим уравнением линии. Для перехода от параметрического вида к обычному достаточно из уравнений (1) исключить t. Каким-либо образом линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t – скалярный переменный параметр. Каждому t₀ соответствует определенный вектор r₀=r(t₀). При изменении параметра t конец вектора r=r(t) опишет заданную линию.

Векторное уравнение и параметрическое уравнение имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия- траекторией движения, параметр t при этом– время.

В аналитической геометрии на плоскости, вообще говоря, возникают две задачи:

1) зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение

2)зная уравнение кривой изучить ее форму и свойства.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: