Линии второго порядка на плоскости.

Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени относительно текущих координат

(1)

Коэффициенты уравнения действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B или C отлично от 0. такие линии называют линиями (кривыми) второго порядка. Ниже мы покажем, что уравнение (1) определяет на плоскости окружность Эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружность радиуса R с центром в точке M₀ называется множество точек M плоскости удовлетворяющих условию MM₀=R. Пусть точка M₀ в системе Oxy имеет координаты x₀, y₀, а M(x, y)- произвольная точка окружности. Тогда или

(1)

-каноническое уравнение окружности. Полагая, x₀=y₀=0 получим x²+y²=R²

покажем, что уравнение окружности можно записать в виде общего уравнения второй степени (1). Для этого возведем в квадрат правую часть уравнения окружности и получим:

или

Для того чтобы это уравнение соответствовало (1) необходимо чтобы:

1) коэффициент B=0,

2) . Тогда получим: (2)

Последнее уравнение называется общим уравнением окружности. Поделив обе части уравнения на А ≠ 0 и дополнив члены содержащие x и y до полного квадрата получим:

 

(2)

 

Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением окружности, получим, что уравнение (2) действительно уравнение окружности если:

1)A=C, 2)B=0, 3)D²+E²-4AF> 0.

При выполнении этих условий центр окружности расположен в точке О , а ее радиус .

Эллипс

M (x, y)

Эллипсом называется множество всех точек плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами. Обозначим фокусы через F₁ и F₂ расстояние между ними 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через 2 (рис.1).

Рис.1.

y

x

F2 (c, o)

F1 (-c, o)

По определению 2 > 2c, то есть > c.для вывода уравнения эллипса будем считать, что фокусы F₁ и F₂ лежат на оси Ox, а т.O совпала с серединой отрезка F₁F₂, тогда F₁(-c, 0), F₂(c, 0).

Пусть M(x, y)- произвольная точка эллипса, тогда, согласно определению эллипса MF₁+MF₂=2 то есть

-это и есть уравнение эллипса. Можно его преобразовать к более простому виду следующим образом:

возводим в квадрат:

возводим в квадрат

так как , то ²-c²> 0 положим ²-c²=b²

Тогда последнее уравнение примет вид:

или

-это уравнение эллипса в каноническом виде.

Форма эллипса зависит от соотношения : при b= эллипс превращается в окружность. Уравнение примет вид . В качестве характеристики эллипса часто пользуются отношением . Эта величина получила название эксцентриситета эллипса, причем, 0< < 1 так как 0< c< для окружности =1. характеризует форму эллипса, чем меньше , тем эллипс будет менее сплющенным.

 

Исследование формы эллипса.

1) уравнение эллипса содержит x и y, только в четной степени, поэтому эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy , а также относительно т.О (0, 0), которую называют центром эллипса.

2) найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y=0 находим A₁( , 0) и A₂(- , 0), в которых эллипс пересекает Ox. Положив x=0, находим B₁(0, b) и B₂(0, -b). Точки A₁, A₂, B₁, B₂ –называются вершинами эллипса. Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2 и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и b – соответственно большой и малой полуосями.

A1( , 0)

A2(- , 0)

F2

F1

B1(0, b)

3) из уравнения эллипса следует, что каждое слагаемое в левой части ≤ 1, то есть и или

Рис.2.

B2(0, b)

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x=± , y=±b. (Рис.2.)

4)В уравнении эллипса сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого, другое будет уменьшаться, то есть если |x| возрастает, то |y| - уменьшается и наоборот. Из всего сказанного следует, что эллипс имеет форму изображенную на рис.2. (овальная замкнутая кривая).

Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой точки которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

Рис.3.

M(x, y)

F1(-c, 0)

F2(c, 0)

x

y

Обозначим фокусы через F₁ и F₂ расстояние между ними 2c, а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2 . По определению 2 < 2c то есть < c. Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Oxy так, что фокусы F₁ и F₂ лежат на оси Ox, а начало координат совпадает с серединой отрезка F₁F₂ (рис.3.)

Тогда F₁(-c, 0), F₂(c, 0).Пусть M(x, y)- произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению или то есть . После упрощения, аналогичных тем, которые мы делали при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

, где (1)

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: