![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Линии второго порядка на плоскости.
Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени относительно текущих координат
Коэффициенты уравнения действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B или C отлично от 0. такие линии называют линиями (кривыми) второго порядка. Ниже мы покажем, что уравнение (1) определяет на плоскости окружность Эллипс, гиперболу или параболу. Окружность
-каноническое уравнение окружности. Полагая, x0=y0=0 получим x2+y2=R2 покажем, что уравнение окружности можно записать в виде общего уравнения второй степени (1). Для этого возведем в квадрат правую часть уравнения окружности и получим: или Для того чтобы это уравнение соответствовало (1) необходимо чтобы: 1) коэффициент B=0, 2) Последнее уравнение называется общим уравнением окружности. Поделив обе части уравнения на А ≠ 0 и дополнив члены содержащие x и y до полного квадрата получим:
Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением окружности, получим, что уравнение (2) действительно уравнение окружности если: 1)A=C, 2)B=0, 3)D2+E2-4AF> 0. При выполнении этих условий центр окружности расположен в точке О Эллипс
![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть M(x, y)- произвольная точка эллипса, тогда, согласно определению эллипса MF1+MF2=2
возводим в квадрат
Тогда последнее уравнение примет вид: или
-это уравнение эллипса в каноническом виде. Форма эллипса зависит от соотношения
Исследование формы эллипса. 1) уравнение эллипса содержит x и y, только в четной степени, поэтому эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy 2) найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y=0 находим A1(
![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() 4)В уравнении эллипса сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого, другое будет уменьшаться, то есть если |x| возрастает, то |y| - уменьшается и наоборот. Из всего сказанного следует, что эллипс имеет форму изображенную на рис.2. (овальная замкнутая кривая). Гипербола. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой точки которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда F1(-c, 0), F2(c, 0).Пусть M(x, y)- произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 626; Нарушение авторского права страницы