Уравнение поверхности и линии в пространстве

1) Основные понятия

Поверхность в пространстве, как правило можно рассматривать как геометрическое место точек удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в т.О₁.есть геометрическое место точек удаленных от т. О₁ на расстояние R. Прямоугольная система координат Oxyz позволяет однозначно установить соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y, z- их координатами. Свойства, общие всем точкам, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнение данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называют уравнением вида F(x, y, z)=0, с тремя переменными x, y, z которому удовлетворяют координаты каждой точки лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащие на поверхности.

2) Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек общих двум поверхностям. Если F₁(x, y, z)=0 и F₂(x, y, z) уравнения двух поверхностей, то координаты линии их пересечения (L) должно удовлетворять системе двух уравнений с тремя неизвестными

-это уравнение линии в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать и как траекторию движения точки. В этом случае ее задают векторным уравнением r=r(t) или параметрическим уравнениями.

-проекции вектора r на оси координат.

 

3) Уравнение прямой в пространстве

1. Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку M₀ на прямой и вектор параллельный этой прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой M₀(x₀, y₀, z₀) и направляющим вектором (m, n, p). Возьмем на прямой L произвольную точку M(x, y, z). Обозначим радиус –

r

M

M0

L

x

y

векторы точек M₀ и M соответственно через и . Очевидно, что = + . Вектор М, лежащий на прямой L параллелен направляющему вектору , поэтому M=t , где t- скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки M на прямой (рис.1.). Тогда уравнение можно записать в виде = +t - векторное уравнение прямой.

2. Параметрическое уравнение прямой

Поскольку =(x, y, z), =(x₀, y₀, z₀), t =(tm, tn, tp), то уравнение прямой можно записать в виде:

. Отсюда - параметрическое уравнение прямой в пространстве.

 

Рис.1.

3. Каноническое уравнение прямой

исключая из параметрического уравнения прямой t получим:

- каноническое уравнение прямой.

4. Уравнение прямой проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂). В качестве направляющего вектора можно взять , т.е. = , следовательно, m=x₂-x₁, n=y₂-y₁, p=z₂-z₁. поскольку наша прямая проходит через т.M₁(x, y, z) то каноническое уравнение примет вид:

- уравнение прямой проходящей через две точки.

5. Угол между прямыми

Пусть L₁ и L₂ заданы уравнениями

. Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами ₁(m₁, n_1, p₁) и ₂(m₂, n₂, p₂).Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами получим или

Если L₁ перпендикулярна L₂, то в этом случае cosφ =0, следовательно

 

Если L₁ || L₂, то векторы ₁ || ₂ и координаты векторов ₁ и ₂ пропорциональны:

.

 

4) Уравнение плоскости в пространстве.

 

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать различными способами и каждому из них соответствует конкретное уравнение.

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M₀(x₀, y₀, z₀) и вектором =(A, B, C) перпендикулярным этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x, y, z) и составим вектор . Так как перпендикулярен Q, то вектор перпендикулярен вектору , поэтому их скалярное произведение , т.е.

(1)

-это уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярную вектору . Вектор n=(A, B, C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам A, B, C различные значения можно получить уравнения любых плоскостей проходящих через т.M₀.

2. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x, y и z.

(2)

Полагая, что по крайней мере, один из коэффициентов A, B или C≠ 0, например B≠ 0, перепишем его в виде:

Сравнивая полученное уравнение с ранее полученным (1) видим, что последнее является уравнением плоскости с нормальным вектором =(A, B, C), проходящее через точку . Итак уравнение (2) определяет в пространстве Oxyz некоторую плоскость. Это уравнение и называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

а) Если D=0, то . Этому уравнению отвечает т.O(0, 0, 0)-начало координат. Следовательно, эта плоскость проходит через начало координат;

б) Если C=0, имеем , вектор (A, B, 0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; B=0, то || оси Oy; A=0, то || оси Ox.

в) Если C=D=0, то плоскость проходит через т.O(0, 0, 0) и || Oz, то есть проходит через ось Oz;

г) Если A=B=0, то Cz+D=0, то есть Z= , плоскость || плоскости Oxy;

д) Если A=B=D=0, то Cz=0, то есть Z=0, это уравнение плоскости Oxy.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки в пространстве не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данных точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x, y, z) и составим векторы ; и . Эти векторы компланарны. Используя условия компланарности трех векторов (их смешанное произведение=0) получим:

т.е.

(1)

-это уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

4. Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно отрезки , b, c. То есть она проходит через три точки A( , 0, 0), B(0, b0) и C(0, 0, c). Подставляя в уравнение (1) получим:

 

=0. Раскрыв определитель имеем:

или -уравнение плоскости в отрезках на осях.

5. Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q можно определить заданием единичного вектора , совпадающего с направлением OK – перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость и длинной этого перпендикуляра (рис.2)

Рис.2.

M

k

x

y

Пусть OK=P, а α, β и γ -углы, образованные вектором с осями Ox, Oy и Oz. Тогда = . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x, y, z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор

= =(x, y, z). При любом положении

точки M на плоскости Q проекция вектора на направление вектора всегда равно p.

т.е. или - это нормальное уравнение плоскости. Зная координаты r и e можно его переписать в следующей форме:

6. Угол между двумя плоскостями

пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

Под углом между плоскостями понимают один из двугранных углов образованных этими плоскостями. Угол φ между нормальными векторами (A₁, B₁, C₁) и (A₂, B₂, C₂) плоскостей Q₁ Q₂ равен одному из этих углов. Поэтому или . Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если Q₁ перпендикулярнa Q₂, то вектор перпендикулярен вектору , тогда вектор =0, то есть .

полученное равенство есть условие перпендикулярности Q₁ и Q₂. Если Q₁ || Q₂, то || , тогда координаты векторов пропорциональны, то есть - это условие параллельности Q₁ и Q₂.

7. Расстояние от точки до плоскости.

z

Пусть дана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и плоскость Q с уравнением (Pис.3) Найдем d- расстояние от точки до плоскости. Расстояние d от точки M₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора M₁M₀ (Рис.3), где M₁(x₁, y₁, z₁)- произвольная точка плоскости Q на направление нормального вектора =(A, B, C). Следовательно =

 

 

M0

Q

=

d

Так как т.M₁ принадлежит Q, то

M1

y

, и , тогда уравнение примет вид:

X

Рис.3 .

8.Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая L уравнением

L

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис.4

Пусть φ - угол между Q и L, а - угол между =(A, B, C) и =(m, n, p) (Рис.4). Тогда

, а и так как Sinφ ≥ 0 получим:

-искомый результат.

Если L || Q, то , поэтому =0, то есть является условием параллельности L и Q.

Если L Q, то и ||, поэтому -условия перпендикулярности L и Q.

9. Пересечение прямой с плоскостью

Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

 

Для этого надо решить систему этих уравнений. Проще всего это сделать если записать уравнение прямой в параметрической форме:

Подставляя эти значения в уравнение плоскости получим или , если L не || Q, то есть если , то получим , подставляя t в записанные выше уравнение прямой в параметрической форме координат, получим их значения в точке пересечения L и Q.

Поверхности второго порядка

1) Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление, и пересекает каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая K- называется направляющей, а L – образующей цилиндра. Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а бразующие || координатной оси, то есть перпендикулярно этой плоскости. Пусть в Oxy лежит линия K, а ее уравнение F(x, y)=0. Построим цилиндр с образующими || оси Oz и направляющей K.

 

Рис.1.

. M (x, y, z)

L

N

K

x

z

y

Возьмем на цилиндре любую точку M(x, y, z). Она лежит на какой-то образующей. Пусть т.N- точка пересечения этой образующей с плоскостью Oxy. Следовательно, точка N лежит на кривой K, и ее координаты удовлетворяют уравнению линии K. Но точка M имеет такие же абсциссу x и ординату y, что и точка N.

Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M(x, y, z), так как оно не содержит Z. Так как M- любая точка цилиндра то уравнение F(x, y)=0, и будут уравнения цилиндра с образующими || оси Oz. В случае если образующая || оси Oy F(x, z)=0, если образующая || оси Ox; F(y, z)=0.

Название цилиндра определяется формой направляющей. Если направляющей служит эллипс, в плоскости Oxy, то цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром частный случай эллипса- окружность дает круговой цилиндр и т.д. все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, т.к. их уравнения есть уравнения второй степени.

2) Поверхности вращения. Конические поверхности.

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишут в виде:

(1)

Рис.2.

O1(0, 0, z1)

y

L

N (0, y1, z1)

M (x, y, z)

Найдем уравнение поверхности образованное вращением кривой L вокруг оси Oz. Для этого возьмем на поверхности произвольную т.M(x, y, z). Проведем через M плоскость перпендикулярную оси Oz. Обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответственно O₁ и N. Тогда O₁(0, 0, z), а N(0, , z₁). Отрезки O₁M и O₁N являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O₁M=O₁N, но

а тогда или , кроме того Z₁=Z.

Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнениям (1). Стало быть, F(y₁, z₁)=0, исключая вспомогательные координаты y₁ и z₁ придем к соотношению

- это искомое уравнение.

Это уравнение - поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки M этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на поверхности вращения.

Если кривая вращается вокруг других осей Ox и Oy, то уравнение будет носить аналогичный характер соответственно и . Так, например, вращая прямую y=z вокруг оси Oz получим поверхность вращения описываемую уравнением или - это конус второго порядка

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку p и пересекающими данную плоскую линию L( не проходящую через p) называются конической поверхностью или конусом. При этом L- направляющая конуса p- ее вершина, а прямая описывающая поверхность называется образующей.

Пусть направляющая L задана уравнениями:

 

L

А точка P(x₀, y₀, z₀) -вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Рис.3.

M(x, y, z)

N(x1, y1, z1)

P(x0, y0, z0)

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку M(z, y, z)(рис.3). Образующая, проходящая через точки P и M, пересекает направляющую L в некоторой точке N(x₁, y₁, z₁) координаты точки N удовлетворяют выше записанным соотношениям, следовательно:

А канонические уравнения образующих проходящих через т.P и т. N имеют вид.

Исключая из этих уравнений , и получим уравнение конической поверхности связывающее текущие координаты x, y и z.

Пример: составить уравнение конуса с вершиной в т.О(0, 0, 0).Если направляющая - эллипс

, лежащий в плоскости Z₁=с.

Решение: Каноническое уравнение образующих, проходящих через т.О(0, 0, 0) и т.N(x₁, y₁, z₁), полученную при пересечении образующей OM с эллипсом, будет учитывая, что Z₁=с, получим: , откуда ; Подставляя значения x₁ и y₁ в уравнение эллипса, с учетом того, что N(x₁, y₁, z₁) лежит на эллипсе, можно получить , подставляя сюда ранее полученное значения x₁ и y₁ получим или окончательно - это и есть уравнение конуса.

3) Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

По заданному уравнению поверхности второго порядка(те поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второго порядка) будем определять ее геометрическим вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями им параллельными.

а) Эллипсоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим сечения поверхности описываемой этим уравнением с плоскостями || плоскости Oxy. Уравнения этих плоскостей Z=h, где h- любое число. Линия, получаемая в сечении, будет определяться двумя уравнениями:

(1)

Исследуем это уравнение.

а) Если |h|> c, c> 0, то . Точек пересечения нашей поверхности с плоскостями Z=h не существует;

б) Если |h|< c, то уравнения (1) можно записать в виде: =1

т.е. линия пересечения есть эллипс с полуосями:

;

 

 

При этом, чем меньше |h|, тем больше полуоси ₁ и b₁, при h=0 они достигают своих max значений ₁= , b₁=b. Уравнение примет вид:

 

с

z

 

Рис.4.

b

x

y

c

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечение поверхности плоскостями x=h и y=h. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить рассмотренную поверхность как замкнутую овальную поверхность, называемую эллипсоидом (Рис.4.). Величины , b, c- называются полуосями

эллипсоида, если ≠ b≠ c, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две равны, то получается эллипсоид вращения. Если =b=c, то получим сферу - .

б) Однополостный гиперболоид.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

=1

Пересекая эту поверхность плоскостью Z=h, получим линию пересечения, уравнение которой имеет вид:

 

или

 

Как видно, этой линий является эллипс с полуосями:

 

и

h

Полуоси ₁ и b₁ достигают min при h=0, ₁= и b₁=b. При возрастании |h| ₁ и b₁ будут возрастать.

a1

a

b1

b

y

Если пересекать эту поверхность плоскостями x=h и y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения нашей поверхности с полуосью Oyz, уравнение которой x=0. Подставляя, получим:

Рис.5.

x

-это гипербола

 

Анализ сечений показывает, что поверхность, определяемая нашим уравнением, имеют форму бесконечно расширяемой трубки. Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом (рис.5.).

с) Двухполосной гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением:

Если эту поверхность пересечь плоскостью Z=h, получим линию пересечения, описываемую уравнениями:

Отсюда следует, что:

а) если |h|< c, то Z=h не пересекает поверхность;

б) если |h|=с, то плоскости Z=c касаются данной поверхности в точках (0, 0, c) и (0, 0, -c);

в) если |h|> c, то уравнения можно записать так:

- эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

z

Пересекая поверхность координатными плоскостями Oyz(x=0) и Oxz(y=0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно:

x

y

Рис.6.

h

У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод сечений позволяет изобразить эту поверхность, как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Эта поверхность называется двуполостным гиперболоидом (рис.6.).

д) Эллиптический параболоид

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: