Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упру­гих и неупругих тел.

Удар (или соударение )- это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к уда­рам в прямом смысле этого слова (столкновение атомов или биллиард­ных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и др. При ударе в телах возникают столь зна­чительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движе­ния соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления e:

Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e=1 – абсолютно упругими. На практике для всех тел 0< e< 1 ( например, для стальных шаров e»0.56, для шаров из слоновой кости e»0.89, для свинца e»0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормаль­ная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движут­ся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рас­сматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неуп­ругие удары.

Абсолютно упругий удар - столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энер­гию. Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения им­пульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через и , после удара - через и (рис. 15).

 

 

Рис. 15

При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей.

Их направления учтем знаками: положительное значение припи­шем движению вправо, отрицательное - движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(3.14)

. (3.15)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (3.14) и (3.15), получим

(3.16)

(3.17)

откуда (3.18)

Решая уравнения (3.16) и (3.18), находим

, (3.19)

. (3.20)

Разберем несколько примеров.

1. При v₂ = О

, (3.21)

. (3.22)

Проанализируем выражения (3.21) и (3.22) для двух шаров различных масс:

Рис. 16

a) m1=m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2 = 0) (рис. 16), то после удара остановится первый шар (u1=0), а вто­рой будет двигаться с той же скоростью и uтом же направлении, в котором двигался пер­ вый шар до удара (u2 =v1);

б) m₁ > m₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направ­лении, как и до удара, но с меньшей скоростью (u₁< v₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого шара после удара (u₂> u₁) (рис.17).

в) m₁< m₂.Направление движения первого шара при ударе изме­няется - шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сто­рону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей ско­ростью, т.е. u₂< v₁ (рис. 18).

г) m₂> > m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравне­ний (3.21) и (3.22) следует, что u₁= -v₁, u ₂ » » 0.

2. При m₁= m₂ выражения (3.19) и (3.20) будут иметь вид

u₁=v₂, u₂=v₁,

т.е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Рис. 19

Продемонстрировать абсолютно неуп­ругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис.19).

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара и , то, используя закон со­хранения импульса, можно записать

Откуда

(3.23)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут
продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны m₁= m₂, то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при цент­ральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформа­ций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит " потеря" кинети­ческой энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии.

Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

.

 

Используя (3.23), получим

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (U₂ =0), то

Когда m₂> > m₁ (масса неподвижного тела очень большая), то u< < u₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной де­формации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо боль­шей (m₁> > m₂ ), тогда u»u₁ и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную де­формацию стены.

Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит " потеря" механической энергии под действием диссипативных сил.

 

 

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент инерции

 

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием мо­мента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс m материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

 

 

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

Рис. 20

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относи­тельно его геометрической оси (рис.20). Разобьем ци­линдр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним — r+dr.

Момент инерции каждого полого цилиндра dJ=r²dm (т.к dr< < r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r - плотность материала, то dm=r2prhdr и dJ=2prhr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

,

но т.к. pr²h - объем цилиндра, то его масса m=pr²hr, а момент инерции .

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: мо­мент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

. (4.1)

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: