Адиабатический процесс. Политропный процесс

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (dQ=0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно отнести все быстро протекающие процессы. Например, адиабатическим процессом можно считать процесс в двигателях внутреннего сгорания(расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т.д.

 

 

Из первого начала термодинамики (dQ=dU+dA) для адиабатического процесса следует, что

dА=-dU, (2.17)
т.е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Используя выражение (2.5) и (2.9), для произвольной массы газа перепишем уравнение (2.45) в виде

. (2.18)

Продифференцировав уравнение состояния для идеального газа , получим

. (2.19)
Исключим из (2.18) и (2.19) температуру Т:

.
Разделив переменные и учитывая, что (2.12), найдем

.

Интегрируя это уравнение в пределах от p₁ до р₂ и соответственно от V₁ до V₂, а затем потенцируя, придем к выражению

.

или

.

 

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то можно записать

PV^g=const. (2.20)
Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным Т, V или р, Т исключим из (2.20) с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева:

,

соответственно давление или объем:

(2.21)

. (2.22)

Выражения (2.20)-(2.22) представляют собой уравнения адиабатического процесса. В этих уравнениях безразмерная величина

(2.23)
называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Для одноатомных газов (Ne, He и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию идеальности, i=3, g =1, 67. Для двухатомных газов (Н₂, N₂, О₂ и др.) i=5, g =1, 4. Значения вычисленные по формуле (2.23), хорошо подтверждаются экспериментом.

Диаграмма адиабатического процесса (адиабат а) в координатах р, V изображается гиперболой (рис. 61).

Рис. 61

На рисунке видно, что адиабата ( ) более крута, чем изотерма (pV=const). Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии 1-3 увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.

Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе.
Запишем уравнение (2.18) в виде

.

Если газ адиабатически расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура уменьшается от T₁ до Т₂ и работа расширения идеального газа

. (2.24)

Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (2.22), выражение (2.24) для работы при адиабатическом расширении можно преобразовать к виду

.

Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении 1-2 (определяется заштрихованной площадью, выполненной на рис. 61), меньше, чем при изотермическом. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом - температура поддерживается постоянной за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы имеют общую особенность - они происходят при постоянной теплоемкости. В первых двух процессах теплоемкости соответственно равны С_v и С_p, в изотермическом процессе (dT=0) теплоемкость равна ±¥, в адиабатическом (dQ=0) теплоемкость равна нулю. Процесс, в котором теплоемкость остается постоянной, называется политропным.

Исходя из первого начала термодинамики при условии постоянства теплоемкости (C=const), можно вывести уравнение политропы:

pVⁿ=const, (2.25)
где - показатель политропы. Очевидно, что при С=0, n=gиз (2.25) получается уравнение адиабаты; при С=¥, n=l - уравнение изотермы; при С=С_p, n=0 - уравнение изобары, при С=С_v, n=±¥ - уравнение изохоры. Таким образом, все рассмотренные процессы являются частными случаями политропного процесса.

2.7. Круговой процесс (цикл).
Обратимые и необратимые процессы

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис. 62).

Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расширения (1-2) и сжатия (2-1) газа. Работа расширения (определяется площадью фигуры 1а2V₂V₁) положительна (dV > 0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2blV₁V₂2) отрицательна (dV < 0). Следовательно, работа, совершаемая газом за цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа > 0 (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым (рис. 62, а), если за цикл совершается отрицательная работа < 0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным (рис. 62, 6).

Прямой цикл используется в тепловых двигателях – периодически действующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах - периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой.

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю.

Работа совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому

Q=Q₁-Q₂,

гдеQ₁ - количество теплоты, полученное системой, Q₂ - количество теплоты, отданное системой. Поэтому термический коэффициент полезного действия для кругового процесcа

. (2.26)

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.

Любой равновесный процесс является обратимым. Обратимые процессы- это идеализация реальных процессов. Их рассмотрение важно по двум причинам: многие процессы в природе и технике практически обратимы; обратимые процессы являются наиболее экономичными; имеют максимальный термический коэффициент полезного действия, что позволяет указать пути повышения кпд реальных тепловых двигателей.

 

2.8. Энтропия. Ее статистическое толкование
и связь с термодинамической вероятностью

 

Понятие энтропии введено в 1865 г. Р.Клаузиусом. Для выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре Т теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты.

Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно . Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю:

. (2.27)

Из равенства нулю интеграла (2.27), взятого по замкнутому контуру следует, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,

. (2.28)

Функция состояния, дифференциалом которой является , называется энтропией и обозначается S.

Из формулы (2.27) следует, что для обратимых процессов изменение
энтропии

DS=0. (2.29)

В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необратимый цикл, возрастает:

DS> 0. (2.30)

Выражения (2.29) и (2.30) относятся только к замкнутым системам, если же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (2.29) и (2.30) можно представить в виде неравенства Клаузиуса

DS 0, (2.31)

т.е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то, согласно (2.28), изменение энтропии

, (2.32)
где подынтегральное выражение и пределы интегрирования надо выразить через величины, характеризующие исследуемый процесс. Формула (2.32) определяет энтропию лишь с точностью до аддитивной постоянной.

Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропии.

Исходя из выражения (2.32), найдем изменение энтропии в процессах идеального газа. Так как

,

то ,

или , (2.33)

т.е. изменение энтропии идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1®2.

Так как для адиабатического процесса dQ=0, то DS=0 и, следовательно, S=const, т.е. адиабатический обратимый процесс протекает при постоянной энтропии. Из формулы (2.33) следует, что при изотермическом процессе (T₁=T₂)

при изохорном процессе (V₁ =V₂)

.

Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сумме энтропии тел, входящих в систему.

Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике, энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность W состояния системы - это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние.

Согласно Больцману, энтропия S системы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом:

S=kInW, (2.34)
где k - постоянная Больцмана. Таким образом, энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамической системы. Формула Больцмана (2.34) позволяет дать энтропии следующее статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядоченности системы. В самом деле, чем больше число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии равновесия - наиболее вероятного состояния системы - число микросостояний максимально, при этом максимальна и энтропия.
Так как реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что все
процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии - принцип возрастания энтропии. При статистическом толковании энтропии это означает, что процессы в замкнутой системе идут в направлении увеличения числа микросостояний, иными словами, от менее вероятных к более вероятным.

Сопоставляя выражения (2.31) и (2.34), видим, что энтропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы могут либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянными (в случае обратимых процессов).

Отметим, однако, что эти утверждения имеют место для систем, состоящих из очень большого числа частиц, но могут нарушаться в системах с малым числом частиц. Для " малых" систем могут наблюдаться флуктуации, т.е. энтропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы на определенном отрезке времени могут убывать, а не возрастать, или оставаться постоянными.

 

Второе начало термодинамики

 

Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Кроме того, можно представить множество процессов, не противоречащих первому началу, в которых энергия сохраняется, а в природе они не осуществляются. Появление второго начала термодинамики - необходимость дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет - определяет направление развития процессов.

Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса, второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.

Можно дать наиболее краткую формулировку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь существенно, что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом (убывать, возрастать, оставаться постоянной). Кроме того, отметим еще раз, что энтропия остается постоянной в замкнутой системе при обратимых процессах. При необратимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда возрастает.

 

2.10 Тепловые двигатели и холодильные машины.
Цикл Карно и его коэффициент полезного действия
для идеального газа

Изформулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечныи двигатель второго рода – периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, - невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя.

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис.63. От термостата с более высокой температурой T₁, называемого нагревателем за цикл отнимается количество теплоты Q₁, а термостату с более низкой температурой Т₂, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q₂, при этом совершается работа A=Q₁ –Q₂.

Рис. 63 Рис. 64

Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя (2.26) был h =1, должно быть выполнено условие Q₂ =0, т.е. тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Так, французский физик и инженер Н. Л. С. Карно показал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики.

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на
рис. 64.

Системой за цикл от термостата с более низкой температурой Т₂ отнимается количество теплоты Q₂ и отдается термостату с более высокой температурой T₁ количество теплоты Q₁. Для кругового процесса Q=A, но, по условию, Q=Q₂ –Q₁ < 0, поэтому А< 0 и Q₂ –Q₁ = -А, или Q₁ =Q₂ +А, т.е. количество теплоты Q₁, отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре T₁, больше количества теплоты Q₂, полученного от источника теплоты при более низкой температуре Т₂, на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что
иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Однако второе начало термодинамики не следует представлять так, что оно совсем запрещает переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Ведь именно такой переход осуществляется в холодильной машине. Но при этом надо помнить, что внешние силы совершают работу над системой, т.е. этот переход не является единственным результатом процесса.

Основываясь на втором начале термодинамики, К а р н о вывел теорему носящую теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (Т₁) и холодильников (Т₂), наибольшим кпд обладают обратимые машины; при этом кпд обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей (Т₁) и холодильников (Т₂), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела.

Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее экономичный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, и называемый
циклом Карно. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

рис. 65

Цикл Карно изображен на рис. 65, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1-2 и 3-4, а адиабатические расширение и сжатие - кривыми 2-3 и 4-1.

При изотермическом процессе U=const, поэтому количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

. (2.35)

При адиабатическом расширении 2-3 теплообмен с окружающей средой отсутствует, и работа расширения А₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии (2.17) и (2.24):

.

Количество теплоты Q₂, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно А₃₄

. (2.36)
Работа адиабатического сжатия

.

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

и, как можно показать, определяется площадью, выполненной на рис. 65.

Термический кпд цикла Карно

.

 

Применив уравнение для адиабат 2-3 и 4-1, получим

, , (2.37)

откуда

.
Подставляя (2.35) и (2.36) в формулу (2.26) и учитывая (2.37), получим

, (2.38)
т.е. для цикла Карно кпд действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при Т=400 К и Т=300 К h=0, 25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то h=0, 5. Кпд всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.

 

Оглавление

Введение………………………………………………………………………
I. Физические основы механики…………………………………………
1. Кинематика
1.1. Модели в механике. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения………………………………………………………………
1.2. Скорость…………………………………………………………………
1.3. Ускорение и его составляющие…………………………………………
1.4. Тангенциальная составляющая ускорения……………………………
1.5. Угловая скорость и угловое ускорение…………………………………
2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
2.1. Первый закон Ньютона. Масса. Сила…………………………………
2.2. Второй закон Ньютона…………………………………………………
2.3. Третий закон Ньютона…………………………………………………
2.4. Силы трения………………………………………………………………
2.5. Закон сохранения импульса. Центр масс………………………………
3. Работа и энергия
3.1. Энергия, работа, мощность………………………………………………
3.2. Кинетическая и потенциальная энергии………………………………
3.3. Закон сохранения энергии………………………………………………
3.4. Графическое представление энергии……………………………………
3.5. Удар абсолютно упругих и неупругих тел…………………………….
4. Механика твердого тела
4.1. Момент инерции…………………………………………………………
4.2. Кинетическая энергия вращения………………………………………
4.3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела…………………………………………………………………
4.4. Момент импульса и закон его сохранения……………………………
4.5. Сила тяжести и вес. Невесомость………………………………………
5. Механические колебания
5.1. Гармонические колебания и их характеристики………………………
5.2. Механические гармонические колебания………………………………
5.3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники………………………………………………………….……
5.4. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения………………………………………………………
5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний……………………
5.6. Свободные затухающие колебания пружинного маятника……………………………………………………………………………… Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Автоколебания………………………………………………………………..
5.7. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение……………………………………………...
5.8. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс……………………………………………………………………….
6. Элементы механики жидкостей
6.1. Давление в жидкости и газе……………………………………………
6.2. Уравнение неразрывности………………………………………………
6.3. Уравнение Бернулли и следствия из него………………………………
6.4. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей……………………………………………………………
7. Элементы специальной теории относительности
7.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности……………………………………………………………………………..
7.2. Постулаты специальной теории относительности……………………
7.3. Преобразования Лоренца………………………………………………
7.4. Следствия из преобразований Лоренца…………………………………
7.5. Интервал между событиями……………………………………………
7.6. Основной закон релятивистской динамики материальной точки………………………………………………………………………………
7.7. Законы взаимосвязи массы и энергии…………………………………
II. Основы молекулярной физики и термодинамики…………………... 1. Молекулярно - кинетическая теория идеального газа
1.1. Опытные законы идеального газа………………………………………
1.2. Уравнение Клапейрона-Менделеева……………………………………
1.3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов…………………………………………………………………………….
1.4. Закон Максвелла дла распределения молекул идеального газа по скоростям…………………………………………………………………
1.5. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул………………………………………………………………………
1.6. Явления переноса в термодинамических неравновесных системах……………………………………………………………………………..
2. Основы термодинамики
2.1. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул……………………
2.2. Первое начало термодинамики…………………………………………
2.3. Работа газа при изменении его объема…………………………………
2.4. Теплоемкость……………………………………………………………
2.5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам……………………………………………………………………………..
2.6. Адиабатический процесс. Политропный процесс……………………
2.7. Круговой процесс (цикл). Обратимые и необратимые процессы……………………………………………………………………………….
2.8. Энтропия. Ее статистическое толкование и связь с термодина- мической вероятностью………………………………………………………
2.9. Второе начало термодинамики …………………………………………
2.10. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его коэффициент полезного действия для идеального газа ………………………
Приложение 1 Приложение 2

 

 

Александр Егорович Бурученко

 

ФИЗИКА

Учебное пособие

Часть 1

 

Редактор: В.Р. Наумова

 

Подписано в печать 30.09.2003. Формат 60х84/16

Бумага тип №1. Офсетная печать. Усл.печ. л. 10.3. Уч.-изд.л. 10.3

Тираж 500 экз. Заказ № 308

 

Красноярская государственная архитектурно-строительная академия

660041, Красноярск, пр.свободный, 82

Отпечатано на ризографе КрасГАСА

660041, Красноярск, пр.Свободный, 82

⇐ Предыдущая567891011121314

Поделиться: