Волны Дебройля и их статистическая интерпретация

Согласно идее де Бройля, свободному электрону, имеющему фиксированные значения энергии и импульса p, соответствует волновая функция - плоская монохроматическая волна (в дальнейшем, для краткости, - плоская волна) - волна де Бройля: где r - радиус-вектор произвольной точки пространства, - время, - амплитуда волны. Частота этой волны и ее волновой вектор k ( ) связаны с энергией и импульсом p частицы уравнениями де Бройля, аналогичными соотношениям Эйнштейна для квантов света, то есть

где Дж*с - постоянная Планка (введена немецким физиком М.Планком в 1900 году на основе гипотезы о дискретности испускания энергии при установлении законов излучения абсолютно черного тела).

Статистический смысл амплитуды волны де Бройля

Согласно статистическому толкованию волн де Бройля (предложенному Максом Борном), сочетающему атомизм и волновые свойства частицы, интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна плотности вероятности обнаружить частицу в данном месте пространства при условии нормировки

где - элемент объема, а интегрирование осуществляется по всему пространству " sp". - комплексно сопряженная с функция и - модуль волновой функции.

В таком понимании волны де Бройля не являются эквивалентными волнам, рассматриваемым в классической физике. Во всех " классических" волнах абсолютное значение амплитуды волны определяет физическое состояние частицы (например, энергию ее колебаний). В случае волн де Бройля интенсивность определяет плотность вероятности местонахождения частицы. Поэтому важно лишь отношение интенсивностей в различных частях пространства, а не сама их абсолютная величина.

Амплитуда волн де Бройля имеет только статистическую интерпретацию.

Стационарное уравнение Шредингера

Уравне́ ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция должна удовлетворять уравнению:
которое получается из уравнения Шрёдингера ( ) при подстановке в него указанной выше формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

 

Уравнение стоячей волны.

Стоячая волна представляет периодическое во времени колебание с характерным пространственным распределением амплитуды — чередованием узлов (нулей) и пучностей (максимумов). В линейных системах стоячая волна может быть представлена как сумма двух бегущих волн равной амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу.

Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (начальная фаза ):

Учитывая, что , получим уравнение стоячей волны:

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: