Теплопроводность обусловленная атомными колебаниями (решёточная теплопроводность)

Решеточная теплопроводность твердого тела, как и теплоемкость, обусловлена тепловыми колебаниями атомов, амплитуда которых, определяющая внутреннюю энергию решетки, увеличивается с ростом температуры. Благодаря сильной связи между атомами тепловое возбуждение, возникшее в каком-либо месте решетки, передается от атома к атому в виде упругой волны, приводя их в коллективное движение, подобное распространению звуковых волн в твердом теле. Достигая поверхности тела, упругая волна отражается от нее. Наложение прямой и отраженной волн приводит к установлению в решетке стоячей волны с частотой w, которая называется нормальным колебанием. Всего в теле с N атомами можно возбудить 3N нормальных колебаний с собственными дискретными частотами w_I, которые упрощенно удовлетворяют тому условию, что на поверхности тела должны располагаться узлы стоячей волны (в узлах амплитуда колебаний равна нулю), а между узлами укладываться целое число полуволн т.е. w_i , где U - скорость звука в теле.

Максимальная частота нормальных колебаний не может превышать

w_max

где d – расстояние между соседними атомами. Физически это означает, что не может наблюдаться колебание с длиной волны, меньшей удвоенного расстояния между атомами (см. рис. 1). Минимальная частота колебаний w_min ограничивается линейными размерами кристалла L,

w_min .

Тепловое возбуждение решетки в целом описывается наложением друг на друга слабо взаимодействующих между собой 3N нормальных колебаний. Энергия каждого нормального колебания квантуется. В гармоническом приближении, т.е. в предположении, что силы взаимодействия между атомами пропорциональны смещениям, нормальные колебания не взаимодействуют между собой. Энергия нормальных не взаимодействующих колебаний может быть представлена в виде

Е_i = w_i (n = 0, 1, 2, …), (2)

где постоянная Планка

Минимальная величина кванта энергии нормального колебания называется фононом. Каждое нормальное колебание с энергией Е_i эквивалентно возбуждению n одинаковых фононов . Среднее число фононов возбужденных при температуре Т, описывается функцией Бозе-Эйнштейна:

(3)

где k – постоянная Больцмана.

Из (3) следует, что максимальная частота и количество фононов, возбуждаемых в теле, определяются его температурой. При температуре Т возбуждаются все фононы, частоты которых удовлетворяют соотношению Фононы с энергией кванта практически не возбуждаются, так как среднее число фононов с энергией равно 0, 6, а с энергией равно 0, 16. Каждое i-ое колебание возбуждается до уровня и эквивалентно рождению (генерации) n одинаковых фононов.

В гармоническом приближении, как упоминалось выше, фононы не взаимодействуют между собой, и их рассматривают как идеальный газ, заполняющий термически возбужденное тело. Такой подход используется при описании теплоемкости твердых тел.

 

Билет 16

Вопрос 1 Понятие эффективного диаметра молекул их длины свободного пробега

Эффективный диаметр молекулы — минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул при столкновении.

При столкновении молекулы сближаются до некоторого наименьшего расстояния, которое условно считается суммой радиусов взаимодействующих молекул. Столкновение между одинаковыми молекулами может произойти только в том случае, если их центры сблизятся на расстояние, меньшее или равное диаметру d — эффективному диаметру молекулы.

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние (обозначаемое λ ), которое частица пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего.

Длина свободного пробега каждой молекулы различна, поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега (< λ > ). Величина < λ > является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

, где σ — эффективное сечение молекулы, n — концентрация молекул.

Вопрос 2 Определение энергии Ферми

ФЕРМИ-ЭНЕРГИЯ (уровень Ферми) - энергия, ниже к-рой все состояния системы частиц или квазичастиц, подчиняющихся Ферми - Дирака статистике, заполнены, а выше - пусты в осн. состоянии при абс. нуле темп-ры (T=0 К). Существование Ф--э. следует из Паули принципа, Для идеального газа фермионов Ф--э. совпадает с химическим потенциалом при Т=0 К и связана с числом частиц (n) газа в единице объёма соотношением:

Здесь m, s-масса и спин фермиона (в случае квазичастиц т - эффективная масса ).Для электронов (s=1/2)

Билет 17

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: