Метод размерных оценок в задачах физики

3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования

Метод размерностей работает в очень широком диапазоне порядков величин, он позволяет оценивать размеры Вселенной и характеристики атомного ядра, проникать внутрь звезд, изучать волны на поверхности лужи и подсчитывать количество взрывчатки при строительстве туннелей в горах.

По мере приобретения навыков впечатление от метода размерностей должно смениться пониманием того, что уже на самой первой стадии применения этого метода - при выписывании системы, определяющих взаимосвязь параметров - необходимо четко представлять себе саму физику явления. Метод размерностей не открывает новых фундаментальных законов и, не подвергает сомнению установленные законы. Вместе с тем даже люди, не имеющие глубоких специальных знаний, могут получить из соображений размерности не только функциональную зависимость, но часто и численную оценку.

Этот метод сам служит одним из важных стимулов к углубленному изучению физики, создавая при удачном его применении отнюдь не обманчивое ощущение собственных возможностей, он помогает быстро прикинуть, что должно получиться в ответе, проверить сам ответ, восстановить забытую формулу.

При разумном выборе параметров безразмерные комбинации функционально связанных величин всегда оказываются порядка единицы. Законы природы не зависят от масштабов, которыми мы измеряем длину, время, массу и другие физические величины. Выбираемые единицы измерений во многом носят случайный характер, такой выбор связан с удобствами, привычками и историческими традициями.

Поэтому естественно пытаться выражать законы природы, т. е. уравнения, связывающие различные физические величины, в таком виде, чтобы они не зависели от выбора масштабов. Так приходят к безразмерным соотношениям. Но когда образованы безразмерные соотношения из функционально связанных величин, можно потребовать, чтобы эти соотношения были порядка единицы, поскольку другого выбора не имеется.

Существование безразмерных физических соотношений есть, по существу, проявление принципа подобия – при изменении масштабов численные значения физических величин, конечно, меняются, физические же законы меняться не должны.

Размерные оценки базируются на преобразованиях подобия, являющихся частным случаем аффинных преобразований. Рассмотрим свойства этих преобразований.

Преобразование

f: x_i'= kx_i, i=1,..n (3.1)

или

р(А', В')=kр(А, В)

где А и В— любые две точки пространства, А' и В' — их образы под действием преобразования f (3.1), называется преобразованием подобия с коэффициентом подобия k.

При k = 1, f - тождественное преобразование; при k > 1, f - растяжение, при к < 1, f - сжатие. Коэффициент подобия kудобно представить в каноническом виде:

к = е^α (3.2)

(по сравнению с (3.1) канонический вид (3.2) обладает тем преимуществом, что при нулевом значении параметра преобразования α, мы получаем тождественное преобразование, а условия преобразования имеют вид, соответственно, в условия α =0, f - тождественное преобразование,

при α > 0, f - растяжение, при α < 0, f – сжатие.

Важно подчеркнуть, что в случае преобразования подобия коэффициент подобия по всем направлениям один и тот же. Преобразование подобия изменяет размеры фигур, но не их форму. Форма - инвариант преобразования подобия.

Аффинные преобразования - преобразования подобия с различными коэффициентами подобия по различным направлениям.

x_i^’=k_ix_i - преобразования подобия. (3.3)

Преобразование подобия (3.1) - частный случай аффинных преобразований (3.3). Переход от (3.1) к (3.3) - генерализация, или обобщение, переход от (3.3) к (3.1) - специализация, или переход от общего случая к частному. Аффинное преобразование - линейное - оно переводит прямые в прямые. Ни размеры, ни форма при аффинном преобразовании не сохраняются.

Определение группы преобразований.

-Аффинные преобразования образуют группу, так как множество объектов, на которые они действуют, замкнуто относительно аффинных преобразований.

-Аффинные преобразования содержат тождественное преобразование, выполняющего роль единичного элемента группы.

-Для каждого аффинного преобразования существует обратное, уничтожающее его действие; последовательное выполнение прямого и обратного аффинных преобразований есть тождественное преобразование.

-Последовательное выполнение трех аффинных преобразований А₁ ° А₂° А_3,, ассоциативно, т.е.

(А₁ ° А₂) °А₃= А₁ °( А₂° А₃)= А₁ ° А₂° А₃. (3.4)

Группа аффинных преобразований коммутативна, или абелева, т.е. для любых двух аффинных преобразований А₁, А₂ результат их последовательного выполнения не зависит от того, в каком порядке идут «множители»:

А₁ ° А₂= А₂° А₁ (3.5)

Преобразования подобия также образуют группу - подгруппу группы аффинных преобразований.

Преобразования подобия действуют не только в пространстве - на геометрические фигуры, но и на дискретные последовательности, а также на решения дифференциальных уравнений и на сами дифференциальные уравнения. Преобразования подобия лежат также в основе анализа размерности.

3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок

Физический критерий самоподобия (и самоаффиннантности) динамической системы: отсутствие в системе естественного масштаба (по которому можно было бы судить, подверглась ли система растяжению или сжатию).

Размерность физической величины принято выражать в определенном классе систем единиц, т.е. предварительно выбрав набор основных единиц. Остальные величины имеют размерности, которые представимы в виде мономомов - т.е. произведений степеней основных единиц: L^α M^β T^γ Например, в механике удобно использовать класс систем единиц L M T, в котором за основные единицы выбраны длина (L), масса (М) и время (Т). Частными случаями класса LMT служат системы CGS(сантиметр - грамм - секунда), техническая система (метр- тонна - час). Переход от одной системы в данном классе систем единиц к другой системе осуществляется с помощью аффинного преобразования, так как по каждой из основных единиц коэффициент преобразования «свой», отличный от коэффициентов преобразования подобия по другим единицам.

Выбрав класс систем единиц, можно условиться записывать в виде векторов с компонентами из показателей α , β, γ :

L^α M^β T^γ ↔ (α , β, γ )

Анализ размерностей позволяет получать соотношения в тех случаях, когда вывод их представляет, казалось бы, неразрешимую задачу.

Тщетно было бы искать естественный масштаб длины в классической механике до тех пор пока в 1900 г. Макс Планк выдвинул гипотезу квантов, согласно которой энергия могла излучаться и поглощаться малыми, но конечными порциями - квантами: hν, где h= 6, 626 • 10^-27гсм²/с- постоянная Планка. В 1913 г. Нильс Бор соединил гипотезу Планка с планетарной моделью атома Резерфорда. Простейший атом (водорода), по Бору, представлял собой положительно заряженное массивное ядро и электрон, обращавшийся вокруг ядра по круговой орбите.

В классе систем единиц LMTхарактеристики атома водорода имели следующие величины и размерности:

m = 9, 109 *10^-28г, e = 4, 803*10^-10(г см³/с)^1/2, h = 6, 626*10^-27г см²/с, поэтому диаметр атома водорода составлял d_H =(1/2π ²)(h²/me²) = 1, 058*10^-8см.

Он-то и стал естественным масштабом длины, существование которого нарушило самоподобие.

В основе анализа размерностей лежит П-теорема, согласно которой безразмерная комбинация одних величин есть функция безразмерных комбинаций других величин, число которых зависит от класса систем единиц и размерностей величин, участвующих в изучаемом явлении.

Если имеется зависимость размерной или безразмеpной величины a от n размерных или безразмерных параметров, инвариантная по отношению к выбору системы единиц, то при соответствующем выборе масштабов ее можно представить как зависимость между n+1-k безразмерными параметрами, где k – максимальное число величин, независимых по размерности из a, a₁, …, a_n.

Таким образом, теорема устанавливает безусловное преимущество безразмерной постановки задач.

И так, величины с разными размерностями не могут складываться. Размерность служит некоторой специфичной характеристикой физической величины, позволяющей отличать ее от других величин. Само понятие размерности вводится после того как выбраны некоторые основные физические величины и установлены единицы для их измерения. Например, в механике мы обычно принимаем за основные величины массу, длину и время. В системе единиц СГС эти величины измеряются соответственно в граммах - массы, сантиметрах и секундах; в системе СИ - в килограммах - массы, метрах и секундах. Выражение единиц измерения произвольной физической величины через единицы измерения основных величин называется размерностью. Здесь нам будет достаточно принять без длинных рассуждений следующие интуитивно ясные утверждения.

1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 429; Нарушение авторского права страницы