Движение материальной точки по окружности

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 29Следующая ⇒

Рассматриваем вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Для этого построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось z совпала с осью вращенеия

Угловая скорость по определению

w = df / dt

Угловое ускорение

e = d²f / dt² = dw / dt

Декартовы координаты выражаются через радиус окружности и угол следующим образом

x = Rcosf

y = Rsinf

используя формулы для скорости и правила дифференцирования сложной функции, находим проекцию вектора скорости на ось абсцисс

V_x = dx /dt = (dx/df)(df/dt)

Учитывая, что

dx / df = - Rsinf

Получаем для скорости

V_x = - Rwsinf

Аналогично для составляющей по оси ординат

V_у= dy /dt = (dy/df)(df/dt) = Rwcosf

v_z =0

Если проделать соответствующие преобразования(скорость равна корню из суммы квадратов составляющих скоростей), то для скорости можно получить

V = R|w|

Вектор угловой скорости можно представить вектором перпендикулярным плоскости вращения

w = |w| к

Из этого определения следует, что когда ось z совпадает с осью вращения тела, координаты вектора угловой скорости w будут

w_x =0, ω _y =0, ω _z =w

При помощи формул для векторного произведения нетрудно убедиться в том, что векторное произведение вектора угловой скорости на радиус – вектор точки с координатами x, y, z равно вектору скорости

Формула векторного произведения(вектор, равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах a, r и направленного перпендикулярно плоскости составленной из векторов a и r так, что результирущий вектор составляет правую тройку с векторами произведения)

[ ar ] = | i j k |

| a_x a_y a_z |

| x y z |

Векторное произведение вектора угловой скорости на радиус – вектор точки

[ wr ] = | i j k |

| 0 0 w |
| x y z |

Кинематика поступательного и вращательного движения

Модуль и направление углового перемещения

Движение тела по криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам некоторых окружностей см. рис.1.

Пусть произвольная точка М сначала находилась в неподвижной плоскости Q (рис. 2). Затем переместилась в подвижной плоскости P на угол поворота .

Угол поворота (угловое перемещение) будим отсчитывать от неподвижной плоскости Q по часовой стрелке (см. рис. 3).

Направление углового перемещения совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта.

Модуль углового перемещения запишется по аналогии с координатой:

или

Модуль и направление угловой скорости

При малом угловом перемещении равен ( (2)

Разделим обе части последнего выражения на :

или (3)

(4)

где выражение

- есть средняя угловая скорость, т.е

, (5)

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. также как и вектор

Модуль угловой скорости запишется по аналогии с линейной скоростью:

или

Мгновенная угловая скорость.

Мгновенная угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени:

(6)

При равномерном вращении , тогда

(7)

Связь линейной и угловой скоростей.

Если продолжить (3), то получим:

или

(8)

(9)

Вектор линейной скорости совпадает по направлению с векторным произведением . Векторное произведение всегда связано с правилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора , стоящего на первом месте в (9), к вектору , стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора , см. рис. 5.