ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

 

Рассматриваем микрочастицу, которая совершает

одномерные движения в потенциальном поле,

удовлетворяющим следующим условиям:

U(x)={0, 0< x< a; ∞, x≤ 0, x≥ a. Такое потенциальное

поле называется потенциальной ямой. Уравнение

Шредингера для такой микрочастицы запишем

d(c.2)ψ /dx(c.2) + (2m/h(в)(с.2))*E ψ = 0 (1) одномерное движение. Решение этого уравнения будем искать в виде ψ (x)=A e(c.ikx)+B e(c.-ikx) (2),

A, B – некоторые констаты, k=√ 2mE/h(в)(с.2)`. Перепишем (2) в виде: ψ (x)=(A+B)coskx+i(A-B)sinkx (3). На стенках потенциальной ямы и за ее пределами потенциальная энергия равна бесконечности, поэтому вероятность того, что микрочастица покинет яму и выйдет за ее пределы равна нулю. |ψ (x)|(c.2)=0, при x≤ 0 и x≥ a. Из условия непрерывности волновой функции следует, что это условие выполняется, если сама волновая функция при этих значениях координат равна нулю. ψ (0)=ψ (a)=0 (4). Выражение (4) определяет те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (1), имеющие физический смысл. Воспользуемся (4), ψ (x)=0, x≤ 0. Чтобы (3) обратилось в ноль, необходимо, чтобы (A+B)coskx=0, A= - B, и (3) перепишем в виде ψ (x)=i2Asinkx (5). Воспользуемся вторым граничным условиям ψ (х)=0 при x≥ a. Выполняется при k, удовлетворяющем k(индекс n)*a=π n; k(инд.n)=π n/a, n=1, 2, 3…,

Исследования показали, что Р спектр состоит из

сплошного спектра, характеризуемого в области коротких длин волн, λ 0 – коротковолновая граница.сплошного спектра, имонохроматический максимум интенсивности c λ 1, λ 2, λ 3 и т.д. Исследования показали, что коротковолновая граница сплошного спектра не зависит от

природы вещества, материала А, но определяется

кинетической энергией электронов, бомбардирующих А, точнее U.

При этом λ 0=const/U (экспериментально).

Объяснение существования λ 0 сплошного спектра возможно на основе

квантовых представлений. Если электроны, вылетающие из раскаленного К,

преобретают в поле с разностью потенциалов U не очень высокую энергию, то при бомбардировании А, они могут оказаться пролетающими вблизи ядра атома. Электростатическое поле ядра тормозит эти электроны, в результате часть кинетической энергии электронов переходит в энергию излучения. mv(c.2)/2=eU. Какая часть энергиии электрона перейдет в энергию излучения зависит от того, как близок электрон пролетает вблизи ядра. В пределе вся энергия электрона переходит в энергию излучения.

eU=hν 0, ν 0=eU/h, λ 0=hc/eU=const/U. По этой причине сплошной Р спектр называется тормозным Р спектром. Положением монохроматических максимумов в Р спектре не зависит от уинетической энергии электронов, но определяется природой атомов вещества А.

 

Поэтому эта часть РИ – характеристическое РИ.

Атом А – мнооэлектронный атом, у которого внутренние слои полностью заполнены электронами. Внешний электрон, обладающий большой энергией может выбить один из электронов с К или Л-слоя (нарисовать рисунок – атом +Ze, и вокруг него слои K, L, M, N). Выбитый электрон не может перейти на соседний слоя, т.к. у тяжелых атомов они полностью застроены электронами. Чаще всего выбитый электрон выходит за пределы, атома иногда – на внешний электронный слой, если там есть вакансии. Образовавшаяся вакансия в слое К является энергетически более выгодна для электрона из L-слоя. Происходит переход электрона с L-слоя в К-слой, сопровождающийся излучением Р-кванта. Харак-кие Р спектра содержат небольшое число спектральных линий, которые объединяются в группы, которые называются сериями (K-, L-, M-, N-серия и т.д.). К-серия возникает, если дырка-вакансия образуется в К-слое. У одних атомов эта вакансия заполняется электронами с L, M или N-слоя. Т.е.

К-серия возникает сразу вся. По мере увеличения

частоты Kα, Kp, Kγ. Если электрон перешол с

L-слоя, то в L-слое-дырка=> испускается L-серия.

Р спекрты отличаются простотой; практически сходны

для различных атомов, т.к. структура внешних

электронных слоев у различных атомов почти

одинакова. С увеличением заряда ядра z, Р спектр

смещается в торону кототких длин волн. Физик Мозли установил экспериментально в 1913 году закон √ ν =c(z - δ ) – закон Мозли. c, δ – некоторые констаты. В соответствии с этим законом частота Kα линии определяется, ν (индекс kα )=R’ (z – 1)(c.2) (1/(1(c.2)) – 1/(2 (c.2))), R’=R*c,

ν (индекс kβ )=R’ (z – 1)(c.2) (1/1(c.2) – 1/3(c.2)),

ν (индекс Lα )=R’ (z – 7, 5)(c.2) (1/2(c.2) – 1/3(c.2)), ν =R’(z – δ )(c.2) (1/m(c.2) – 1/n(c.2)). Постоянная δ носит название констаты экранирования. Появление δ в этих соотношениях связано с тем, что переход электронов между внутренними электронными слоями в тяжелых атомах

41. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 298, а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямо­угольной формы высоты U и ширины lможем записать

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо бес­препятственно пройдет над барьером (при Е> U), либо отразится от него (при Е< U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при Е> U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E< U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х> 1, т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микро­частицы при условиях данной задачи.

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждой из выде­ленных на рис. 298, а области имеет вид

(221.1)

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

(221.2)

(221.3)

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид

(221.4)

В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распространяющуюся в проти­воположном направлении, т. е. отраженную от барьера (соответствует частице, движу­щейся от барьера налево).

Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временной множи­тель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффици­ент B₃ в формуле (221.3) следует принять равным нулю.

В области 2 решение зависит от соотношений Е> U или Е< U. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при Е< U законы классической физика однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно (221.1), q=ib — мнимое число, где

Учитывая значение q и B₃=0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(221.5)

В области 2 функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, распространя­ющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а дейст­вительные. Можно показать, что для частного случая высокого и широкого барьера, когда bl > > 1, B₂»0.

Качественный характер функций y₁(х), y₂(х) и y₃(x) иллюстрируется на рис. 298, б, откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нудя вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфи­ческому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в резуль­тате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрач­ности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что

Для того чтобы найти отношение |А₃/А₁|², необходимо воспользоваться условиями непрерывности y и y' на границах барьера х=0 и х=l (рис. 298):

(221.6)

Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A₂, A₃, В₁ и В₂ через А₁. Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольного потенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей)

(221.7)

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барьера, D₀ — постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины l барьера и от (U—E); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 299), удовлетворяющей условиям так называемого квазиклассического приближения (достаточно гладкая форма кривой), имеем

где U=U(x).

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е< U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специ­фическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса Dр на отрезке Dх=l составляет Dp> h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (Dр)²/(2m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, a-распад, протекание термоядерных реакций).

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: