Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты

Под сложением колебаний понимают нахождение результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты. Для сложения колебаний удобно применять метод векторных диаграмм. Суть этого метода в том, что гармоническое колебание представляется при помощи вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью OX угол, равный фазе колебания. Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются при помощи векторного сложения. Допустим, что требуется сложить два гармонических колебания:

и . (6.4.1)

Сложим соответствующие им векторы и для момента времени t. Проекция результирующего вектора на ось Оx равна сумме проекций складываемых векторов . Вектор представляет собой векторное изображение результирующего

колебания (см. рис.6.4.1).

Этот вектор в плоскости диаграммы вращается с той же частотой , с которой колеблются складываемые осциллирующие функции x₁(t) и x₂(t). Результирующая амплитуда и начальная фаза находятся геометрическим построением для момента времени t=0:

(6.4.2)

. (6.4.3)

 

Выделим три характерных случая.

· · Если разность начальных фаз обоих колебаний равна 0 или 2pn, где n=1, 2, …. то колебания находятся в фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний, .

· · Если разность фаз , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то (при наблюдается полное гашение колебаний).

· · Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. В этом случае результирующее колебание не будет гармоническим и описывается другими более сложными зависимостями.

Бие́ ния — явление, возникающее при наложении двух гармонических колебаний близкой частоты и выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот двух исходных сигналов.

 

Биения возникают от того, что один из двух сигналов постоянно отстаёт от другого по фазе и в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается усилен, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того как нарастает отставание.

Биения, колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несколько различными, но близкими частотами. Биения возникают вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами всё время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через некоторое время - в противофазе, затем снова в фазе и т.д. Если А1 и А2 - амплитуды двух накладывающихся колебаний, то при одинаковых фазах колебаний амплитуда результирующего колебания достигает наибольшего значения A1 + A2, а когда фазы колебаний противоположны, амплитуда результирующего колебания падает до наименьшего значения A1 - A2. В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний равны, их сумма достигает значения 2А при одинаковых фазах колебаний и падает до нуля, когда они противоположны по фазе (рис.). Результат наложения колебания можно записать в виде:

где w1 и w2 - соответственно угловые частоты двух накладывающихся гармонических колебаний (начальные фазы обоих колебаний полагаются равными нулю, т.к. они не играют роли в образовании Биения; играет роль только разность фаз между обоими колебаниями, которая всё время меняется от 0 до 2p).

 

Если w1 и w2 мало различаются, то в выражении (1) величину

можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебания

Угловая частота W = w1 - w2; называется угловой частотой Биения Именно, поскольку частота w1 + w2 много больше частоты Биения, мы вправе рассматривать переменную величину (2) как амплитуду колебаний (3), т.к. величина (2), хотя и не постоянная (какой должна быть амплитуда), но меняющаяся лишь медленно. По мере сближения частот w1 и w2 частота Биения уменьшается, исчезая при w1 ® w2 («нулевые» Биения), этим пользуются при настройке музыкальных инструментов. В радиотехнике гетеродинный приём (см. Гетеродин) называется «приёмом на Биения». Суть его заключается в том, что если 2 гармонических колебания подать на нелинейный элемент - детектор, то получается гармоническое колебание с разностной частотой W. Т. к. разностная частота много ниже частоты принимаемых колебаний, то при некоторых соотношениях частот она может восприниматься на слух.

 

Определение частоты тона Биения между измеряемым и эталонным колебанием - один из наиболее точных методов сравнения измеряемой величины с эталлонной, широко применяемый на практике. С помощью Биения можно обнаружить чрезвычайно малые разности частот; поэтому «метод Биения» применяют в разнообразных приборах для измерения частот, ёмкости, индуктивности и т.д.

17Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лисса-жу. Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины x и y , изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой щ по гармони­ческому закону, то Где e_x и e_у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.В случае колеблющейся частицы величины ,

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз обоих колебаний. Выражения (2) пред­ставляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравне­ние траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравне­ния следует, что (3) Соответственно (4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы: Подставим вместо cos щt и sinщt их значения (3) и (4):

Преобразуем это уравнение (5) Это уравнение эллипса, оси которого по­вернуты относительно координатных осей х и у. Ори­ентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б.Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом: Отсюда получается уравнение прямой:

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и ам­плитудой, равной (рис. 1 а).2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение (5) имеет вид

Следовательно, результирующее движение представ­ляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

(рис. 1 б)

Рис.1

3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям: Полуоси эллипса равны соответствующим амплиту­дам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.Случаи и отличаются на­правлением движения по эллипсу или окружности. Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпен­дикулярных колебаний: , (знак плюс в выражении для у соответствует движе­нию против часовой стрелки, знак минус — движе­нию по часовой стрелке).Если частоты взаимно перпендикулярных колеба­ний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, на­зываемых фигурами Лиссажу.

Фигура Лиссажу для отношения ча­стот 1: 2 и разности фаз р/2 Фигура Лиссажу для отношения частот 3: 4 и разности фаз р/2

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Затухающие колебания и их характеристики. Амплитуда и частота затухающих колебаний. Коэффициет затухания, логарифмический декремент затухания, добротность.

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.

где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ

Или

Перепишем это уравнение в следующем виде: и обозначим: где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда

Будем искать решение уравнения (7.19) в виде где U - некоторая функция от t.Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция

Таким образом, в случае малого сопротивления среды , решением уравнения (7.19) будет функция

График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,

Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда откуда Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.

Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: