ТЕМА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В СТАТИСТИКЕ

 

1. Сущность и значение средней величины в статистике.

2. Средняя арифметическая величина и ее свойства.

3. Другие виды средней величины и их применение.

4. Средние величины относительных признаков.

 

Средние величины занимают особое место в системе статистических показателей. Это связано с тем, что основная задача статистики — выявление закономерностей массовых явлений и процессов, которая достигается путем обобщения однородных явлений, т.е. заменой множества индивидуальных значений признака одним числом. Это число и называется средней величиной.

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Ши­рокое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимыми в про­цессе анализа явлений и процессов общественной жизни.

Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности варьируют под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются те отклонения значений признака, которые обусловлены действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя. Каждый показатель имеет свое, только ему присущее содержание. Например,

В общем виде исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу можно представить следующим образом:

Только такой подход позволяет правильно определить среднюю величину признака и выбрать ее форму.

Форма средней величины определяется тем, какое свойство исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака остается неизменным. При расчете средней арифметической величины неизменной остается сумма индивидуальных значений признака. Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме индивидуальных значений признака, деленной на число этих значений:

где — индивидуальные значения признака (варианты); n — число единиц совокупности.

Простая средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда имеются индивидуальные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется с помощью весов.

Средняя арифметическая взвешенная имеет вид:

где x_i — индивидуальные значения признака (варианты); f_i — частота (вес), т.е. число единиц совокупности, обладающее одинаковым значением признака.

Данный вид средней арифметической взвешенной используется в дискретных рядах распределения. В том случае, когда данные представлены в виде интервальных рядов распределения, т.е. значения признака заданы в виде интервалов, их заменяют серединами этих интервалов:

где x_j^’ — середина интервала; f_j — частота (вес), т.е. число единиц в j-м интервале; k — число интервалов.

Если интервал закрытый (20 — 30), то середина интервала рассчитывается по формуле средней арифметической простой ((20+30)/2 = 25). Если интервал открытый (до 10; 10 — 20; 20 — 30; 30 и более), то величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы — величине предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше ((0+10)/2 = 5); (30+40)/2 = 35).

Особое внимание следует уделить расчету средних величин относительных признаков. При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранялась неизменной сумма величины объемного признака, который является числителем при построении усредняемого относительного показателя. Чтобы выполнить это условие, в качестве весов при расчете средней величины относительного показателя необходимо принять значения того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя.

Например, доля отличников в отдельной группе рассчитывается по формуле:

Следовательно, доля отличников по факультету будет рассчитываться по формуле:

Таким образом, средняя доля отличников рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве весов в данном случае используется число студентов в группах и неизменным остается суммарное число отличников на факультете, которое служит базой для расчета относительного показателя.

Существуют и другие формы средних величин. Так, при расчете средней квадратической величины сохраняется неизменной сумма квадратов исходных значений:

Если неизменной сохраняется сумма кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, используется средняя кубическая:

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину:

Основное применение средняя геометрическая находит при определении средних темпов роста.

Если по условию задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней:

Все рассмотренные виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем степени:

где k — показатель степени.

При k = 1 получаем арифметическую среднюю, при k = 2 — квадратическую, при k = 3 — кубическую, при k = 0 — геометрическую, при k = -1 — гармоническую среднюю.

Контрольные вопросы

1. В чем особое значение средних величин при раскрытии статистических закономерностей?

2. При каких условиях расчеты средней по формуле взвешенной арифметической и простой арифметической дадут один и тот же результат?

3. Чем определяется выбор простой или взвешенной формулы для расчета средней?

4. Назовите основные свойства средней арифметической.

5. Как обосновывается выбор весов при расчете средней величины относительного признака?

6. Для каких целей используется формула средней геометрической?

 

Задачи

5.1. Имеются данные о распределении безработных по продолжительности безработицы в Гродненской области (на конец 2006 г.):

 

Продолжительность безработицы, месяцы	Численность безработных, тыс. человек
Всего	в том числе
мужчины	женщины
до 1	1, 3	0, 6	0, 7
1-3	1, 8	0, 6	1, 2
3-6	1, 5	0, 5	1, 0
6-12	1, 3	0, 4	0, 9
более года	0, 8	0, 1	0, 7
Всего	6, 7	2, 2	4, 5

 

Рассчитайте среднюю продолжительность безработицы в Гродненской области в целом и отдельно по мужчинам и женщинам, сравните полученные результаты.

5.2. Имеются данные о распределении работников по возрастным группам в Гродненской области на конец 2006 г.:

 

Возраст, лет	Удельный вес, %
Всего	в том числе
мужчины	женщины
до 25	11, 0	11, 6	10, 4
25-29	11, 1	10, 9	11, 3
30-39	25, 6	24, 2	27, 0
40-49	30, 0	28, 7	31, 2
50-54	12, 0	11, 7	12, 2
55 и старше	10, 3	12, 9	7, 9
Всего	100, 0	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте средний возраст работника в Гродненской области в целом и отдельно по мужчинам и женщинам, сравните полученные результаты.

5.3. Имеются данные о распределении безработных по возрастным группам в Гродненской области на конец 2006 г.:

 

Возраст, лет	Удельный вес, %
Всего	в том числе
мужчины	женщины
до 18	2, 1	2, 7	1, 7
18-19	9, 1	7, 1	10, 1
20-24	17, 6	15, 7	18, 6
25-29	12, 0	11, 9	12, 0
30-34	10, 5	9, 9	10, 8
35-39	11, 0	10, 8	11, 1
40-44	10, 7	11, 5	10, 2
45-49	12, 0	10, 9	12, 6
50 и старше	15, 0	19, 5	12, 9
Всего	100, 0	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте средний возраст безработного в Гродненской области в целом и отдельно по мужчинам и женщинам, сравните полученные результаты.

5.4. Имеются данные о распределении населения Гродненской области и Республики Беларусь по уровню располагаемых ресурсов (в среднем за месяц 2005 г.):

 

Располагаемые ресурсы на члена семьи, тыс. руб.	Удельный вес, %
Гродненская область	Республика Беларусь
0-90, 0	1, 1	1, 8
90, 1-130, 0	5, 4	7, 0
130, 1-170, 0	13, 1	10, 9
170, 1-210, 0	15, 5	14, 6
210, 1-250, 0	18, 1	16, 8
250, 1-290, 0	14, 7	13, 3
290, 1-330, 0	9, 6	10, 3
330, 1-370,	8, 3	7, 4
370, 1-410, 0	4, 6	5, 6
410, 1-450, 0	2, 7	3, 7
450, 1-500, 0	2, 5	2, 6
500, 1-600, 0	2, 7	3, 1
600, 1-700, 0	0, 5	1, 3
700, 1-900, 0	0, 6	1, 1
более 900, 0	0, 6	0, 5
Всего	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте средний размер располагаемых ресурсов на члена семьи в месяц в области и республике, сравните полученные результаты.

5.5. Имеются данные о выполнении плана товарооборота по двум магазинам:

 

№ магазина	III квартал	IV квартал
План товаро- оборота, тыс. руб.	Выполнение плана, %	Фактический товарооборот, тыс. руб.	Выполнение плана, %
№1		102, 3		101, 3
№2		105, 1		98, 7

 

Определите средний процент выполнения плана товарооборота обоими магазинами за III и IV кварталы; прирост фактического товарооборота в абсолютном выражении.

5.6. Имеются данные о распределении городского и сельского населения Республики Беларусь по уровню располагаемых ресурсов (в среднем за месяц 2005 г.):

 

Располагаемые ресурсы на члена семьи, тыс. руб.	Удельный вес, %
городское население	сельское население
0-90, 0	1, 3	2, 9
90, 1-130, 0	6, 3	8, 7
130, 1-170, 0	9, 3	14, 4
170, 1-210, 0	13, 4	17, 2
210, 1-250, 0	16, 1	18, 2
250, 1-290, 0	13, 5	13, 0
290, 1-330, 0	11, 2	8, 2
330, 1-370,	8, 0	6, 2
370, 1-410, 0	6, 4	3, 9
410, 1-450, 0	4, 3	2, 3
450, 1-500, 0	2, 9	2, 0
500, 1-600, 0	3, 6	1, 8
600, 1-700, 0	1, 6	0, 6
700, 1-900, 0	1, 4	0, 5
более 900, 0	0, 7	0, 1
Всего	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте средний размер располагаемых ресурсов на члена семьи в месяц в области и республике, сравните полученные результаты.

5.7. Группировка предприятий Гродненской области и Республики Беларусь по среднесписочной численности промышленно-производственного персонала в 2006 г. представлена в следующей таблице:

 

Среднесписочная численность ППП, человек	Число предприятий, % к итогу
Гродненская область	Республика Беларусь
до 100	45, 3	83, 7
101-200	24, 3	7, 4
201-500	15, 5	4, 9
501-1000	7, 1	2, 0
1001 и более	7, 8	2, 0
Всего	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте среднесписочную численность промышленно-производственного персонала одного предприятия по Гродненской области и по республике в целом, сравните полученные результаты.

5.8. Группировка предприятий Гродненской области и Республики Беларусь по общему объему продукции в 2006 г. характеризуется следующими данными:

 

Объем продукции, млн.руб.	Число предприятий, % к итогу
Гродненская область	Республика Беларусь
до 100	4, 4	29, 6
101-200	3, 7	12, 2
201-600	16, 0	19, 8
601-1000	7, 2	7, 8
1001-5000	35, 4	18, 3
5001-10000	8, 5	4, 9
10001 и более	24, 8	7, 4
Всего	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте средний объем продукции одного предприятия по Гродненской области и по республике в целом, сравните полученные результаты.

5.9. Строительные организации Гродненской области на 1 января 2007 г. государственной и частной форм собственности распределились по численности работников следующим образом:

 

Численность работников, человек	Число предприятий, % к итогу
государственная собственность	частная собственность
до 50	9, 8	78, 0
51-100	29, 5	6, 2
101-200	45, 9	9, 4
свыше 200	14, 8	6, 4
Всего	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте средний размер строительной организации обеих форм собственности по численности работников, сравните полученные результаты.

5.10. Строительные организации Беларуси государственной и частной форм собственности на 1 января 2007 г. распределились по численности работников следующим образом:

 

Численность работников, человек	Число предприятий, % к итогу
государственная собственность	частная собственность
до 50
51-100
101-200
свыше 200
Всего	100, 0	100, 0

 

Рассчитайте средний размер строительной организации обеих форм собственности по численности работников, сравните полученные результаты.

5.11. Состав работников предприятия по стажу работы характеризуется следующими показателями:

 

Стаж работы, лет	Число работников, чел.
рабочих	служащих
1-3
3-5
5-10
10-15
15-20
свыше 20
Всего

 

Определите средний стаж работы рабочих и служащих, сравните результаты.

5.12. В строительных управлениях известны за отчетный месяц данные по монтажу металлоконструкций:

 

Номер строительного управления	Средняя месячная производительность 1 рабочего, т	Объем работ, т

 

Вычислите среднюю месячную производительность труда одного рабочего по всем строительным управлениям.

5.13. По трем цехам предприятия имеются следующие условные данные:

 

Цех	Январь	Февраль
Количество работников, чел.	Средняя зарплата, тыс. руб.	Средняя зарплата, тыс. руб.	Фонд оплаты труда, тыс. руб.

 

Рассчитайте: а) среднюю численность работников в трех цехах; б) среднемесячную зарплату одного работника, в) средний размер фонда зарплаты по всем цехам в каждом месяце, а также в среднем за два месяца. Сделайте выводы, произведя соответствующие расчеты, об абсолютном и относительном изменениях среднемесячных показателей.

5.14. Имеются условные данные о продаже товара А в трех магазинах города:

 

Магазин	I квартал	II квартал
Цена товара, тыс. руб.	Количество реализован-ного товара, шт.	Цена товара, тыс. руб.	Товарооборот, тыс. руб.

 

Рассчитайте среднюю цену, среднее количество и средний товарооборот товара А за каждый квартал. Как изменилась в абсолютном и относительном выражении средняя цена товара А во втором квартале по сравнению с первым.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: