Дискретные случайные величины 12

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Дискретные случайные величины 12

Функция распределения случайной величины 12

Типичные законы распределения дискретных случайных величин 14

Независимые дискретные случайные величины 14

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины 15

Ковариация и коэффициент корреляции 19

4. Непрерывные случайные величины 20

Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины 20

Основные законы распределения непрерывных случайных величин 21

Числовые характеристики непрерывных случайных величин 24

Основные характеристики типичных непрерывных распределений 25

5. Начальные и центральные моменты случайных величин 27

6. Случайные векторы 29

Функция распределения и функция плотности случайного вектора 29

Случайные векторы с независимыми компонентами 31

Числовые характеристики случайного вектора 32

Условные распределения и условные математические ожидания 35

7. Предельные теоремы теории вероятностей 36

Неравенство Чебышева 36

Закон больших чисел 36

Центральная предельная теорема 37

Случайные события

Основные определения и свойства. Алгебра событий

Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определяется событие, противоположное данному? Приведите примеры.

Случайным событием А, связанным с опытом, называется любое подмножество в пространстве элементарных событий (где каждому эксперименту поставлено в соответствие множество , элементы которого отражают описание результатов эксперимента) . Оно состоит из всех элементарных исходов , которые благоприятствуют появлению события А. Противоположное событие для события А обозначается . В событие входят только те элементарных события, которые не благоприятны для А.

Пример. Если А есть выпадание четного числа очков при бросании игральной кости, то - это выпадание нечетного числа очков; если А – это попадание при выстреле, то – это промах.

Таблица, характеризующая событие А.

А

Что называется суммой и произведением событий А и В? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случай наступления события

Суммой (А+В) двух событий Аи В называется событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих сразу(события в одном опыте).

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Нет, не имеет, тк сумма/произведение связаны с разными опытами, т.е. разными множествами . У них различны область и элементарные исходы.

Таблица, характеризующая событие АВ.

А	В	С	АВ+

Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события А? Что называется вероятностью события А? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: А – выпадение числа очков, меньших 2; В – выпадение более 2 очков?

Пространством элементарных событий называется множество , состоящее из исходов или элементарных событий Случайным событием называется любое подмножество пространства элементарных событий А , А= , ….

И исходы А – благоприятны для события А. Событие А наступило, если в опыте наблюдался один из благоприятных исходов. Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных исходов k к общему числу исходов n: P(A) = (в классическом определении вероятности).

Пример. В опыте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух исходов = , вероятность выпадания герба А= равна P(A)=0.5

В опыте с подбрасыванием игральной кости пространство элементарных событий состоит из 6 исходов = , А-выпадание четного числа, больше 3, т.е. А= , значит Р(А)=2/6=1/3.

У нас дано, что А – выпаданее меньше 2, а В – выпадание более 2. Т.о. А = , В= . А- это элементарное событие, тк состоит из 1 элементарного события; В – не будет элементарным событием, тк состоит из др. элементарных событий.

Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-роятности? Пусть A, B и C – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .

Событие А, которое произойдет при любом испытании, называется достоверным

(А = ). Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие А, задаваемое условием “число выпавших очков положительное”, будет достоверным. Вероятность достоверного события равна 1.

Событие А, которое не может произойти при испытании, называется невозможным (А=пуст.множ.). Например, событие А, задаваемое условием “при подбрасывании игральной кости выпало 7 очков”, является невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

Таблица, характеризующая событие А +С

А	В	С	А +С

В каком случае событие В называют следствием события А? Какие события называются равными? Объясните, почему .

Событие А влечет за собой событие В или событие В является следствием события А (А В), если каждый исход, благоприятный для А, является благоприятным и для В. События А и В равны (А=В) в случае, когда они являются следствиями друг друга.

I) А АВ+А

Если А наступило(А=1), то: 1) если В при этом наступило, то наступило АВ АВ+А наступило; 2) если В не наступило, то =1 А =1 АВ+А наступило.

II) АВ+А А

Если АВ+А наступило, то либо АВ наступило (т.е А наступило АВ+А А) либо наступило А (А наступило АВ+А А).

Событие А наступает, т.к. любое событие А попадает в В или . А=А( )=А* =А.

Пусть А и В – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию .

(А+В)(А+ ) = АА+А +АВ+В =А+А(В+ )

Докажите, что . Что означает событие ?

= * *…..* . Наступление события А +….А означает, что наступает по меньшей мере одно из событий А , …., А . Наступление противоположного события означает, что не наступает ни одно из событий А , …., А или, по-другому, что наступают одновременно все события , …., , но это в точности означает наступление события * *…..* . Ч.т.д.

А А + А А + А А : означает наступление ровно двух событий из трех.

Докажите, что = + +…..+ . Что означает событие А А + А А + А А ?

= + +…..+ . Наступление события А *….*А означает, что наступают каждое из событий А , …., А . Наступление противоположного события означает, что не наступает хотя бы одно из событий А , …., А или, по-другому, что наступают события + +…..+ . Ч.т.д.

А А + А А + А А : означает наступление не меньше двух событий.

Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны случаи Р=0 и Р=1? Ответ обоснуйте.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0< m< n, значит, 0< m/n< 1, следовательно, 0< P(A)< 1. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤ Р(А)≤ 1.

В качестве статистической вероятности события понимают относительную частоту или число, близкое к ней. Свойства вероятностей вытекают из классического определения и сохраняются для статистического.

А – случ.событие

N – кол-во опытов, N -благ.

Р(А)= , где N N, N 0.

А- выпала игральная кость, числа которой > 7, P(A)=0

В- выпала игральная кость, числа которой < 7, P(A)=1

Условная вероятность

Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)

Пусть А и В случайные события по отношению к какому либо опыту причем P(B) неравно 0. число Р_B(А)=Р(АВ)/Р(В) называют вероятностью события А при условии что событие В уже наступило или просто условной вероятностью А. Наличие условной вероятности ( Р_B(А)≠ Р(А)) между событиями определяет их взаимосвязь.

Статистическая интерпретация: Рассмотрим некий эксперимент и 2 соб. А и В. Повторим опыт к раз. Пусть - число опытов, в которых произойдет событие А при условии что В тоже произойдет.

1) Р(А/B)> Р(А) бросаем кость, В- выпало четное, А-выпала двойка. Р(А)=1/6 РB(А)=1/3

2) P(A/B)=P(A) бросаем кость. А-выпало от 1 до 2, В-выпало от 2 до 4. P(A)=1/3, P(A/B)=1/3.

Схема Бернулли

Вероятности P_n(k)

В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.

Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает некоторое событие А (называемое обычно «успехом») и, следовательно, с вероятностью q=1-p наступает событие , противоположное А.

Пусть k – любое из чисел 0, 1, 2, …, n. Обозначим вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успехов наступит k раз. Справедлива формула Бернулли:

Пример: Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает при этом ровно 3 раза?

Решение: В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна ½ , так что q=1-p=1|2. Отсюда

Выведите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

Когда производится n одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только 2 исхода {A; }. Т.е. некоторый опыт повторяется n раз, причем в каждом опыте некоторое событие А может появиться с вероятностью P(A)=q или не появиться с вероятностью P( )=q-1=p.

Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит точек или последовательностей из символов А и . Такое вероятностное пространство и носит название схема Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного k найти вероятность того, что при n-кратном повторении опыта событие А наступит k раз.

Для большей наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех, ненаступление А –как неуспех. Наша цель – найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными; обозначим это событие временно через B.

Событие В представляется в виде суммы ряда событий – вариантов события В. Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть

. Число всех вариантов равно, очевидно, , а вероятность каждого варианта ввиду независимости опытов равна . Отсюда вероятность события В равна . Чтобы подчеркнуть зависимость полученного выражения от n и k, обозначим его . Итак, .

Предельная теорема Пуассона

Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона.

При n®¥, p®0 b, а величина l = np остаётся постоянной .

Док-во: имеем: , и так как p=l/n, то . Выражение - это произведение k множителей, стремящихся к 1; поэтому и всё произведение стремится к 1. Выражение стремится к 1. Что касается выражения , то его можно записать в виде . Замечая, что выражение в квадратных скобках имеет пределом число , получим окончательно: , где x®1. Отсюда тотчас же следует формула, указанная в теореме.

Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.

формулы Пуассона: и . Они дают хорошее приближение при больших n и малых p (npq£ 10). Пример: в тесто засыпают большое количество изюма (например, 10000 изюмин) и нужно оценить вероятность того, что в случайно выбранной булке, испечённой из этого теста, окажется, к примеру, ровно 2 изюмины). То есть получается, что p=2/10000 = 0, 0002). В этом случае также npq< 10. В итоге, можем применять приближённую формулу Пуассона.

Случайные векторы

Неравенство Чебышева

108. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова: если x³ 0, a> 0, то P(X³ a) £ E(X)/a

Н-во Чебышева: пусть X – СВ, у кот есть E(X)=E и D(X)=a, тогда " e> 0 справедливо н-во

P(|X-E|³ e) £ D(X)/e²

Док-во: P(X³ e) £ E/e - н-во Маркова. |X-E|³ e; (X-E)²/e²³ 1;

P(|X-E|³ e) = P((X-E)²/e²³ 1) £ E((X-E)²/e²) = 1/e² E((X-E)²) = D/e²; P(|X-E|³ e)£ D(X)/e².

109. Используя н-во Чебышева, сформулируйте и док-те «правило трех сигм» для произвольной СВ X.

Н-во Чебышева: пусть X – СВ, у кот есть E(X)=E и D(X)=a, тогда " e> 0 справедливо н-во

P(|X-E|³ e) £ D(X)/e². Противоположное событие: 1 - P(|X-E|³ e) ³ 1 - D(X)/e²; P(|X-E|< e) ³ 1 - D(X)/e².

Правило 3s: Пусть e=3s: P(|X-E|< 3s) ³ 1-s²/9s² = 8/9.

Закон больших чисел

110. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом.

Теорема Чебышева. Пусть имеется бесконечная последовательность X₁, X₂, … независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием E и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

Тогда, каково бы ни было положительное число, вероятность события

стремится к единице при

Доказательство. Положим, .

В силу свойств математического ожидания имеем: .

Далее, так как величины независимы, то .

Сопоставив полученное неравенство с неравенством Чебышева:

будем иметь:

Это показывает, что с ростом n вероятность события стремится к 1.

Смысл теоремы Чебышева можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую физическую величину E. В силу неизбежных ошибок результат измерения будет случай-ной величиной. Обозначим эту величину X; ее математическое ожидание будет совпадать с измеряе-мой величиной E, а дисперсия равна некоторой величине D (характеризующей точность измеритель-ного прибора). Произведем n независимых измерений и обозначим:

X₁– результат первого измерения;

X₂– результат второго измерения

и т.д. Совокупность величин X₁, X₂, …, X_nпредставляет собой систему n независимых случайных ве-личин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величина X. Среднее ариф-метическое этих величин тоже является, конечно, случайной величиной. Однако с увеличением n эта величина почти перестает быть случайной, она все более приближается к постоянной E. Точная количественная формулировка этой близости состоит в том, что событие становится как угодно достоверным при достаточно большом n.

Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения бо-лее точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Близость к E(X) среднего арифметического опытных значений величины X уже подчеркивалась нами при самом введении понятия математического ожидания. Однако соответствующее рассуждение относилось только к дискретным случайным величинам; кроме этого, само высказывание о близости мотивировалось соображениями эмпирического характера. В противоположность этому теорема Че-бышева дает точную характеристику близости среднего арифметического к E(X), и притом для любой случайной величины.

111. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли (закон больших чисел)

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если - сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство . Доказательство. Обозначим через Х₁ дискретную случайную величину—число появлений события в первом испытании, через Х₂—во втором, ..., Х_n—в n-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1—р=q. Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются. Действительно, попарная независимость величин X₁, Х₂, ..., Х_n следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины X_i (i= 1, 2, ..., n) равна произведению pq, так как p+q=1, то произведение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин X_i (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события, получим Остается показать, что дробь (X₁+X₂+…X_n)/n равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин X₁, X₂, …X_n при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма X₁+X₂+…+X_n равна числу E появления события в n испытаниях, а значит, Учитывая, это равенство, окончательно получим

. Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к p.