Числовые характеристики случайного вектора

100. Как найти математическое ожидание функции φ (X, Y), где X, Y – компоненты случайного вектора (X, Y)? Как определяются начальные ν _{k, l} и центральные μ _{k, l} моменты случайного вектора (X, Y)?

Для математического ожидания функции ф(х, у) от компонент случайного вектора (X, Y) справедлива формула

Мы видели, что в одномерном случае основные числовые характеристики случайной величины выражались через начальные и центральные моменты. Дадим аналогичное определение для случайного вектора.

Началъным моментом порядка (к, 1} называется математическое ожидание функции хку':

(1)

Центральным моментом порядка (к, Г) называется математическое ожидание функции (х-тх) \y-mY), где тх = М(Х), mY = M{Y):

Числа к и l характеризуют порядок момента по отношению к каждой компоненте случайного вектора. Число r = к + l называют суммарным порядком момента. Соответственно суммарному порядку моменты можно разделить на моменты первого, второго и т.д. порядка. Мы рассмотрим более подробно моменты первого и второго порядка.

Первые начальные моменты - это нам уже знакомые математические ожидания случайных величин X и Y.

Аналогично,

Точка с координатами (М(Х), M(Y)) характеризует центр системы случайных величин, вокруг которого происходит рассеивание возможных значений.

Кроме первых моментов широко применяют вторые централь­ные моменты, которые бывают трех типов. Два из них дают знакомые нам дисперсии компонент X и Y:

которые характеризуют рассеивание возможных значений случайных величин X и 7 вдоль осей х и у.

Особую роль в определении взаимодействия компонент играет второй смешанный центральный момент

Мы уже рассматривали эту характеристику дискретных систем случайных величин, которую называли ковариацией. Она имеет важное значение и для непрерывных случайных векторов.

101. Каков смысл начальных ν 0, 1, ν 1, 0 и центральных μ 1, 0 μ 0, 1 μ 1, 1, , моментов двумерного случайного вектора (X, Y)? Ответ обоснуйте.

Первые начальные моменты – это математические ожидания случайных величин Х и У.

, аналогично

Точка с координатами (М(Х), М(У)) характеризует центр системы случайных величин, вокруг которого происходит рассеивание возможных значений. Кроме первых моментов широко используют вторые центральные моменты, которые бывают трех типов. Два из них дают знакомые нам дисперсии компонент Х и У:

которые характеризуют рассеивание возможных значений случайных величин X и 7 вдоль осей х и у.

Особую роль в определении взаимодействия компонент играет второй смешанный центральный момент

 

102. Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин Х1, Х2…Хn и сформулируйте их основные свойства.

Для набора случайных величин X1, X2, …, Xn ковариационной матрицей и корреляционной матрицей называют квадратные матрицы порядка n, составленные из всех парных ко-

вариаций и всех коэффициентов корреляции

 

Пусть C – ковариационная матрица случайных величин – произвольный ненулевой вектор констант. Тогда для случайной величины

выполняется соотношение

при этом условие равносильно равенству , означающему вырожденность матрицы C.

Ковариационная и корреляционная матрицы всегда симметричны и неотрицательно определены,

поэтому их определители неотрицательны:

Определитель корреляционной матрицы удовлетворяет также дополнительному ограничению:

103. Как найти ковариацию Сov(X, Y) случайных величин X и Y, если известна функция плотности двумерного распределения (X; Y)? Верно ли, что из равенства Сov(X, Y)=0 вытекает независимость X и Y, если (X; Y) – двумерный нормальный случайный вектор?

Ковариацией или корреляционным момен­том случайного вектора (X, Y) называют величину

Cov(X, Y) =

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. Соv(Х, Y) = M(XY) - M(X)M(Y).

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Соу(Х, X) = D(X).

D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

Cov(aX, Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y).

Coy(X+Y, Z) = Cov(X, Z) +Coy(Y, Z).

Cov(X, Y+ Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

 

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными. Таким образом, согласно свойству 4 из неза­висимости X и Y следует их некоррелированность. Обратное ут­верждение неверно.

104. Укажите формулу для плотности распределения случайной величины Y +X= Z, если ( X, Y) – двумерный случайный вектор с функцией плотности f(x, y) и независимыми компонентами X и Y. Приведите пример ее применения.

если даны 2 независ. случ. величины Х и У, распределённые равномерно соответственно на отр-ках [0, m] и [0, n] (m< =n), то можно найти функцию плотности Z=X+Y.

Z сосредоточена на отр-ке [0, m+n], формула принимает вид

При :

При

При

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: