Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

1. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности.

Пусть случайная величина X связана с некоторым опытом. Провели n испытаний и при этом возникла статистика

Xi	X1	X2
ni	n1	n2

Найдем среднее значение X = _è при n стремящимся к бесконечности = X₁*p₁ + X₂*p₂ т.к по статистическому определению вероятность события примерно равна отношению числа успехов к общему числу испытаний.

LimX = X₁*p₁ + X₂*p₂ E(X))

1. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин?

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения

		…
		…

Называется число

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1) Математическое ожидание случайной величины равно ей самой: E(С)=С

2).Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: E(сХ)=сE(Х).

Следовательно: E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. Ожиданий:

4) Если случайные величины независимы, то мат. ожидание их произведений равно произведению их мат. ожиданий:

5) Мат. ожидание от функции равно:

Для определения суммы и произведения случ. вел. Х и У будем считать, что мы рассматриваем случайную величину , где g(X, Y) – некоторая числовая функция. Тогда система (Х, У) характеризуется следующей таблицей:

Y X			…
			…
			…
…	…	…	…

1. Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание.

X			22	…	2n	…
P				…		…

ряд расходится т.к. => нет математич. ожидания.

1. Может ли математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей целые значения, быть числом нецелым? Ответ обоснуйте.

Математическое ожидание дискретной случайное величины, принимающей целые значения, может быть числом нецелым. Например, найдём математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости, обозначим указанную случ. величину через X, принимающий целые значения (1; 2; 3; 4; 5; 6). Её закон распределения имеет вид:

 

X
P

- нецелое число

1. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание . Докажите, что .

Докажем неравенство Маркова:

Если x> 0 и a=const, a> 0, то

Док-во: Введём новую величину:

Y		a
P	P(x< a)	P(x a)

X Y

E(x) E(y), E(y)= aP(X a)

aP(X a) E(x)

P(X a)

В нашем примере a=5 (т.е. a=const), a> 0, E(x)=m

По неравенству Маркова: P(X 5)

1. Докажите, что если и – независимые дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то .

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А E(XY)= Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j). Обозначив P(X=x_i)=r_i, P(Y=y_j)=s_j, перепишем данное равенство в виде p_ij=r_is_j

Таким образом, E(XY)= = . Преобразуя полученное равенство, выводим: E(XY)=( )( ) = E(X)E(Y)

1. Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то E(X +Y) = E(X ) +E(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: E(X+Y)= E(X)+E(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения⁽*⁾( возьмем 2 значения):

X x1 x2 p p1 p2

Y y1 y2 g g1 g2

Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим возможное значение Y; получим x₁+y₁, x₁+y₂, x₂+y₁, x₂+y₂. Предположим, что эти возможные значения различны( если не так, то доказательство аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p₁₁, p₁₂, p₂₁, p_22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: E(X+Y) = (x₁+y₁)* *p₁₁+(x₁+y₂)* p₁₂+(x₂+y₁)* p₂₁+(x₂+y₂)* p₂₂, или E(X+Y) = x₁*(p₁₁+p₁₂)+ x₂*(p₂₁+p₂₂)+ +y₁*(p₁₁+p₂₁)+ y₁*(p₁₂+p₂₂). Докажем, что p₁₁+p₁₂=p₁. Событие, состоящие в том, что X примет значение x₁ (вероятность этого события равна p₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x₁+y₁ или x₁+y₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна p₁₁+p₁₂), и обратно. Отсюда следует, что p₁₁+p₁₂=p_1. Аналогично доказываются равенства p₂₁+p₂₂=p₂, p₁₁+p₂₁=g₁ и p₁₂+p₂₂=g_2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим E(X+Y)=(x₁p₁+x₂p₂)+(y₁g₁+y₂g₂), или E(X+Y)= E(X)+E(Y).

1. Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X? Перечислите основные свойства дисперсии.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому вычисляют среднее значение квадратаотклонения, которе и называется дисперсией. Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]². Более удобная формула: D(X) = E(X ²) − E² (X).

Св-ва:

1⁰. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0.

2⁰. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=С²D(X).

3⁰. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y)= D(X)+D(Y).

4⁰. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

5⁰ Прибавление( вычитание) константы к случайной величине не меняет ее дисперсии. D(X+C)=D(X).

1. Докажите, что если X – дискретная случайная величина, то D(X) = M(X 2) − M2(X).

Док-во: Математическое ожидание M(X) есть постоянная величина, следовательно, 2M(X) и M²(X) также постоянные величины. D(X) = E(X ²) − E² (X)= E[X-E(X)]²=E[X²-2XE(X)+E²(X)]=E(X²)-2E(X)E(X)+E²(X)=E(X²)-2E²(X)+E²(X)=E(X²)-E²(X). т.е. D(X) = E(X ²) − E²(X).

1. Пусть X – дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство M(X 2)< (M(X ))2? Ответ обоснуйте.

По определению дисперсии D(X)=E[X-E(X)] ², тогда

D(X)=E[X ² -2ХE(X)+ E ² (X)]= E(X ² )-2 E ² (X)+ E ² (X)= E(X ² )- E ² (X).

Итак, для любой с.в.Х D(X)= E(X ² )- E ² (X), D(X)≥ 0, поэтому для любой с.в. Х всегда выполняется неравенство E(X ² ) ≥ E ² (X). Поэтому неравенство М(Х²)< [E(X)] ² выполняться не может.

61. Докажите, что если X и Y – независимые случайные величины, то D[XY]= D[X ]⋅ D[Y ]+E[X ]² D[Y]+E[Y ]² D[X ].

D(XY) = (E(XY)²)-[E(XY)]² = E(X²Y²)-(E(x))²(E(Y))² = E(X²)E(Y²)-E²(X)E²(Y) = (D(X)+[E(X)]²)(D(Y)+[E(Y)]²) – E²(X)E²(Y) = D(X)D(Y)+E(Y)²D(X)+E(X)²D(Y). Ч.т.д.

1. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что E(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Теперь докажем, что E(Х_i)=р, D(Х_i)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Х
Р	р	q

Очевидно, что E(Х)=р, случайная величина Х² имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=E(Х²)-E²(Х)=р-р²=р(1-р)=рq. Таким образом, E(Х_i)=р, D(Х_i)=pq. По теореме сложения математических ожиданий E(Х)=E(Х₁)+..+E(Х_n)=nр, D(Х)=D(Х₁)+…+D(Х_n)=npq=np(1-р).

1. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

=

1. Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром. Докажите, что E(X ) = D(X ) = λ .

Закон Пуассона задается таблицей:

X					…
P	λ − e	λ λ − e	λ λ − e! 22	λ λ − e! 33	…

Отсюда имеем:

=

Таким образом, параметр λ, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда, причем ∞ → n∞ → nλ = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона E(X) =. Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна λ, поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при → q. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

E(X) = λ, D(X) = λ

1. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что E(X) = .

Геометрический закон связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А)

х			…	n	…
Р	р	pq	…	Pqn-1	…

1. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = .

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: